Witam. Mam problem z tymi dwoma przykladami, jakby ktoś mogł coś podpowiedzieć..
1) \(\displaystyle{ f \left( x \right) =x^{ \frac{1}{x} } \right)}\) , Okreslam dziedzinę\(\displaystyle{ Df=x>0}\)
liczę pochodną \(\displaystyle{ f' \left( x \right) =e^{ \left( \frac{1}{x} \cdot \ln x \right) } \cdot \left( \frac{-\ln x+1}{ x^{2} } \right)}\) i teraz sprawdzam dziedzinę \(\displaystyle{ f' \left( x \right)}\) czyli \(\displaystyle{ Df'=x>0}\)
tylko teraz jeśli do tego momentu jest ok..? to nie mam pojęcia jak naszkicować ten wykres i wyznaczyc ekstremum
edit : tutaj bedzie chyba maximum loklalne w x=e
2) \(\displaystyle{ f \left( x \right) =1+\left| \arctan \left( x-1 \right) \right|}\) -> tutaj to nawet nie wiem jak zacząć ? pozbyć się wartosci bezwzględnej i rozpatrzec 2 przypadki?
Wyznaczyc ekstrema lokalne
-
TPB
- Użytkownik
- Posty: 500
- Rejestracja: 19 lip 2011, o 09:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zielona Góra
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 79 razy
Wyznaczyc ekstrema lokalne
Dziedzinę funkcji w przykładzie pierwszym wyznaczyłeś błędnie. Powinny być wszystkie liczby dodatnie.
Co do ekstremum, to jedyny podejrzany punkt, to właśnie obliczone przez Ciebie \(\displaystyle{ e}\).
Odpowiedz sobie jeszcze kiedy pochodna jest dodatnia, a kiedy jest ujemna. Powinno być łatwo, bo znak pochodnej zależy tylko od licznika tego ułamka z logarytmem, ponieważ, funkcja wykładnicza jest zawsze dodatnia i mianownik (funkcja kwadratowa) też.
Co do drugiego, to tak jak podejrzewasz. Na dwa przypadki. Określasz kiedy arcus tangens jest nieujemny i kiedy ujemny. Powinno Ci wyjść, że to co pod wartością bezwzględną jest nieujemne dla \(\displaystyle{ x \ge 1}\). A ujemne to już łatwo określisz.
W tej chwili znasz wzór funkcji. Jest ona na pewno różniczkowalna wszędzie poza 1 (dlaczego?). W tym punkcie musisz zbadać różniczkowalność z definicji. Potem liczysz pochodną (tam gdzie istnieje) i szukasz jej miejsc zerowych. Są to punkty podejrzane o to, że jest tam ekstremum, jeżeli funkcja ma jakiś punkt nieróżniczkowalności, to też jest kandydatem na ekstremum.. Musisz sprawdzić, co się dzieje w jedynce (bo tam funkcja raczej różniczkowalna nie jest - moje przeczucie) i jest w tym punkcie minimum lokalne (tak mi się wydaje) - to pokaż z definicji.
Co do ekstremum, to jedyny podejrzany punkt, to właśnie obliczone przez Ciebie \(\displaystyle{ e}\).
Odpowiedz sobie jeszcze kiedy pochodna jest dodatnia, a kiedy jest ujemna. Powinno być łatwo, bo znak pochodnej zależy tylko od licznika tego ułamka z logarytmem, ponieważ, funkcja wykładnicza jest zawsze dodatnia i mianownik (funkcja kwadratowa) też.
Co do drugiego, to tak jak podejrzewasz. Na dwa przypadki. Określasz kiedy arcus tangens jest nieujemny i kiedy ujemny. Powinno Ci wyjść, że to co pod wartością bezwzględną jest nieujemne dla \(\displaystyle{ x \ge 1}\). A ujemne to już łatwo określisz.
W tej chwili znasz wzór funkcji. Jest ona na pewno różniczkowalna wszędzie poza 1 (dlaczego?). W tym punkcie musisz zbadać różniczkowalność z definicji. Potem liczysz pochodną (tam gdzie istnieje) i szukasz jej miejsc zerowych. Są to punkty podejrzane o to, że jest tam ekstremum, jeżeli funkcja ma jakiś punkt nieróżniczkowalności, to też jest kandydatem na ekstremum.. Musisz sprawdzić, co się dzieje w jedynce (bo tam funkcja raczej różniczkowalna nie jest - moje przeczucie) i jest w tym punkcie minimum lokalne (tak mi się wydaje) - to pokaż z definicji.