kilka całek do rozwiązania

[krzaqx]

Dostałem na egzaminie ostatnio taki zestaw zadań, zrobiłem i nie zaliczyłem.. chociaż wydawało mi się, że zrobiłem je dobrze...
1. \(\displaystyle{ \int \frac{ e^{2t} -2e^{t}}{1+e^{2t}}dt}\)

2. \(\displaystyle{ \int \frac{(4x+9x^2+5x^4)dx}{ \sqrt{2x^2+3x^3+x^5}}}\)

3. \(\displaystyle{ \int \frac{x dx}{1+x^4}}\)

4. \(\displaystyle{ \int_{0}^{5} \int_{0}^{5-x} \sqrt{4+x+y}dy dx}\)

5. \(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \int_{x}^{2x} \frac{x dx dy}{x^2+y^2}}\)

6. \(\displaystyle{ \int \frac{\cos x dx}{1+\cos x}}\)

będę bardzo wdzieczny za jakąś pomoc

[Nakahed90]

1. \(\displaystyle{ e^{x}=t}\)
2. \(\displaystyle{ 2x^{2}+3x^{3}+x^{5}=t}\)
3. \(\displaystyle{ x^{2}=t}\)
4. \(\displaystyle{ 4+x+y=t}\)
5. \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=t}\)
6. \(\displaystyle{ tg \frac{x}{2}=t}\)

Jeśli je rozwiązałeś to napisz swoje rozwiązanie, wtedy je sprawdzimy.

[krzaqx]

1. \(\displaystyle{ arctg(e^{t}( \frac{1}{2}e^{2t}-2}\)
2. \(\displaystyle{ 2 \sqrt{2x^{2}+3x^{3}+x^{5}}+c}\)
3. \(\displaystyle{ \frac{1}{2} arctgx^{2}}\)
4. nie mam
5. \(\displaystyle{ - \frac{3}{8} \prod_{}^{}}\)
6. nie mam

[Nakahed90]

1. Źle
2. OK
3. OK

[krzaqx]

1. \(\displaystyle{ -2arctg e^{t} + ln(1-e^{2t})+c}\)

[Nakahed90]

Drugi czynnik jest źle.

[krzaqx]

no tam wychodzi takie coś:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{e^{2x}}{1+ e^{2x}}dx}\)
podstawiam za \(\displaystyle{ e^{x} = t | e^{x}dx=dt}\)
w mianowniku mam \(\displaystyle{ e^{2x}dx}\) no i jak z tego zrobić to dt.
Pomóż mi bo nie mam pojęcia.. próbowałem mnożyć ale nie wychodzi tak jak powinno...

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ e^{2x}dx=e^{x}\cdot e^{x}dx=tdt}\)

[krzaqx]

czyli wynik bedzie taki:
\(\displaystyle{ (\frac{1}{2}e^{2x}-2)arctge^{x}}\)

[Nakahed90]

Nie.

[krzaqx]

czy to nie jest równe? \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{tdt}{1+t^{2}} = \frac{1}{2} t^{2}arctgt}\)

[Nakahed90]

Nie, rozwiązując całkę tego typu robisz podstawienie \(\displaystyle{ s=t^{2}}\)

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \int \frac{ e^{2t} -2e^{t}}{1+e^{2t}}dt}\)

Po podstawieniu \(\displaystyle{ y=e^{t}}\)
otrzymamy

\(\displaystyle{ \int{ \frac{y-2}{1+y^2} \mbox{d}y}= \frac{1}{2}\ln{ \left( 1+y^2\right) }-2\arctan{y}}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{2}\ln{ \left(1+e^{2t} \right) }-2\arctan{e^{t}} +C}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{\cos x dx}{1+\cos x}}\)

Podzielmy licznik i mianownik przez 2

\(\displaystyle{ \int \frac{ \frac{\cos{x}}{2} dx}{ \frac{ \left(1+\cos{x} \right) }{2} }=}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int{ \frac{2\cos^{2}{ \frac{x}{2} }-1}{\cos^{2}{ \frac{x}{2} }} \mbox{d}x}=}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left( \int{2 \mbox{d}x}-2\int{ \frac{ \frac{1}{2} }{\cos^{2}{ \frac{x}{2} }} \mbox{d}x} \right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left( 2x -2\tan{ \frac{x}{2} } \right)=}\)

\(\displaystyle{ x-\tan{ \frac{x}{2} }+C}\)