Podzielność przez ... 57

[losiu99]

\(\displaystyle{ 57|7^{15}-1\\
7^{15}-1=(7^5-1)(7^{10}+7^5+1)}\)
Drugi nawias jest podzielny przez \(\displaystyle{ 57}\), ale jak to pokazać? Kongruencja na pewno załatwiłaby sprawę, ale to \(\displaystyle{ 57}\) nie wróży przyjemnych rachunków, więc przypuszczam że można zrobić to mniejszym nakładem pracy.
Z góry dziękuję za pomoc.

[kuch2r]

Zauważ, że \(\displaystyle{ 57=3\cdot 19}\)
Zatem wystarczy wykazać \(\displaystyle{ 3|7^{15}-1 \quad \wedge \quad 19|7^{15}-1}\)

[Yaco_89]

zrobiłeś błąd we wzorze skróconego mnożenia:
\(\displaystyle{ 57|7^{15}-1=(7^5-1)(7^{10}+7^5+1)}\)
teraz w pierwszym nawiasie masz liczbę \(\displaystyle{ 7 ^{5} -1=16806}\), która od razu widać że jest podzielna przez 3 (suma cyfr) więc całe wyrażenie też. pozostaje pokazać podzielność przez 19. Można np. indukcją: wykażemy, że dla każdego n naturalnego \(\displaystyle{ 19|7 ^{3n}}\)
Dla n=1:
\(\displaystyle{ 7^{3}-1=342=19\cdot 18}\)
teraz załóżmy, że dla ustalonego k istnieje takie t, że \(\displaystyle{ 7 ^{3k}-1=19t}\)
i przechodzimy do tezy indukcyjnej:
\(\displaystyle{ \vee t _{2}: 7 ^{3(k+1)}-1=19t _{2}\\
7 ^{3(k+1)}-1=7 ^{3}\cdot 7 ^{3k}-1=7 ^{3} \cdot (7 ^{3k} -1)+7 ^{3}-1=7 ^{3} \cdot19 t+342=19(7 ^{3}t+18)}\)
mam nadzieję że zapis jest jasny. w Twoim zadaniu pokazujemy po prostu powyższą własność dla n=5.

[Psycho]

Chyba najłatwiejszy sposób:
\(\displaystyle{ 7^{15}-1=( 7^{3} )^{5} - 1 = (7^{3} -1)((7^{3})^{4} + (7^{3})^{3} + (7^{3})^{2} + (7^{3})^{1} + 1)= \\
= (343-1)((7^{3})^{4} + (7^{3})^{3} + (7^{3})^{2} + (7^{3})^{1} + 1)= \\
= 6 \cdot 57 \cdot ((7^{3})^{4} + (7^{3})^{3} + (7^{3})^{2} + (7^{3})^{1} + 1)}\)

[Yaco_89]

no racja Psycho, ja trochę przedobrzyłem

[losiu99]

Racja, oczywiście zabrakło mi minus jedynki w pierwszym nawiasie. Co do reszty, z niewiadomych przyczyn doszedłem do co najmniej dziwnego wniosku, że \(\displaystyle{ 57}\) to liczba pierwsza Teraz wszystko jasne, przepraszam, że marnuję czas takimi pytaniami...
Dziękuję i pozdrawiam.