Witam. Mam problem z rozwiązaniem całki. Doszedłem do takiego momentu w zadaniu w którym nie mogę jej policzyć. Liczę na drobną podpowiedź ;p
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \pi }{4} } \sqrt{1+ \frac{sinx}{cosx} } dx}\)
Całka niewłaściwa.
-
MichalPWr
- Użytkownik
- Posty: 1625
- Rejestracja: 29 wrz 2010, o 15:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Leszno
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 387 razy
Całka niewłaściwa.
A nie powinno być czasem tak? Zakładam, że chcesz obliczyć długość łuku krzywej.
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \pi }{4} } \sqrt{1+ \frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} } dx=\int_{0}^{ \frac{ \pi }{4} } \sqrt{\frac{\cos ^{2} x+\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} } dx=\int_{0}^{ \frac{ \pi }{4} } \frac{1}{\cos x } \cdot \frac{\cos x}{\cos x} dx=}\)
\(\displaystyle{ =\int_{0}^{ \frac{ \pi }{4} } \frac{\cos x}{1-\sin^{2} x} dx=\begin{vmatrix} \sin x =t\\ \cos xdx=dt \end{vmatrix}=\int_{0}^{ \frac{ \pi }{4} } \frac{1}{1-t^{2}} dt=\arc \tgh t= \frac{1}{2}\ln \left| \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right|}\)
Teraz tylko trzeba podstawić granice.
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \pi }{4} } \sqrt{1+ \frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} } dx=\int_{0}^{ \frac{ \pi }{4} } \sqrt{\frac{\cos ^{2} x+\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} } dx=\int_{0}^{ \frac{ \pi }{4} } \frac{1}{\cos x } \cdot \frac{\cos x}{\cos x} dx=}\)
\(\displaystyle{ =\int_{0}^{ \frac{ \pi }{4} } \frac{\cos x}{1-\sin^{2} x} dx=\begin{vmatrix} \sin x =t\\ \cos xdx=dt \end{vmatrix}=\int_{0}^{ \frac{ \pi }{4} } \frac{1}{1-t^{2}} dt=\arc \tgh t= \frac{1}{2}\ln \left| \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right|}\)
Teraz tylko trzeba podstawić granice.
Ostatnio zmieniony 5 maja 2012, o 15:26 przez MichalPWr, łącznie zmieniany 1 raz.