Suma liczby i jej odwrotności - najmniejsza wartość

[Qnip]

Witam,
rozwiązuję zadanie: Funkcja f określona jest wzorem \(\displaystyle{ f(x)=3^x+3^{-x}}\). Wyznacz najmniejszą wartość funkcji.

Jako że coś tam wiem o pochodnych liczę:\(\displaystyle{ 3^x=t,\ t>0}\) stąd funkcja f ma wzór \(\displaystyle{ \frac{t^2+1}{t}}\) dalej \(\displaystyle{ f'(t)= \frac{t^2-1}{t^2}}\). Pochodna się zeruje dla \(\displaystyle{ t=1}\)

I tu mam pytanie. Skąd wiemy że w punkcie tym następuje zmiana znaku oraz że jest to minimum a nie maksimum?

[klaustrofob]

ale po co tak? \(\displaystyle{ f(x)=3^x+\frac{1}{3^x}=\frac{(3^x)^2+1}{3^x}\ge \frac{2\cdot 3^x}{3^x}=2}\), bo zawsze \(\displaystyle{ (3^x)^2+1\ge 2\cdot 3^x}\). widać, że dla \(\displaystyle{ x=0}\) jest to równe \(\displaystyle{ 2}\) i to jest najmniejsza wartość funkcji.

co do pochodnej - przecież licznik jest równy \(\displaystyle{ (t-1)(t+1)}\) i dla \(\displaystyle{ t<1}\) jest ujemny, dla \(\displaystyle{ t>1}\) dodatni...

[Qnip]

Dziękuję za podanie prostszego sposobu Co do pochodnej, faktycznie, zupełnie o tym nie pomyślałem

[kamil13151]

\(\displaystyle{ \frac{(3^x)^2+1}{3^x}=\frac{(3^x+1)^2}{3^x}}\)
Tylko to nie jest prawdziwe, ale pewnie się tylko machnąłeś z tym .

Ogólnie znana jest nierówność \(\displaystyle{ a+ \frac{1}{a} \ge 2}\) dla \(\displaystyle{ a>0}\), zwija się do \(\displaystyle{ (a-1)^2 \ge 0}\).

[klaustrofob]

no właśnie, przed chwilą poprawiłem. człowiek się starzeje...