Wyznaczyć wzór jawny

[Brzytwa]

Jak w tytule:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}=3 \\ a_{n} = n \cdot (a_{n-1} -1) + 2 \end{cases}}\)

[miodzio1988]

Ok. Jakie metody znasz na wyznaczanie takich cudów?

[Brzytwa]

Żadne

[miodzio1988]

To jest powód do uśmiechu, rzeczywiście.

No to masz zadanie. Poszukaj takich metod. Gotowca chyba nie muszę mówić, że nie dostaniesz?

[Brzytwa]

Poszukać to ja umiem bez twojego posta, który totalnie nic nie wniósł.

[miodzio1988]

A co CIę powstrzymuje przed szukaniem? Tak serio. Google, wyszukiwarka na forum jest. Sobie szkodzisz, nie mi w tym momencie. Następny post nie jest o tym ciągu to koniec tematu tak naprawdę

[Brzytwa]

Twój błąd to przede wszystkim błędne odczytanie moich intencji. Zwyczajnie śmiecisz w tym wątku.

[miki999]

Ok, bez kłótni. Z czym masz problem w tym zadaniu? Jest ono, powiedziałbym, stosunkowo schematyczne przy tak określonej funkcji.

[Qń]

Wskazówka: zacznij od podzielenia stronami przez \(\displaystyle{ n!}\) i podstawienia \(\displaystyle{ b_n=\frac{a_n}{n!}}\).

Q.

[Brzytwa]

Czy ja wiem czy schematyczne? Przecież zwykłej silni nie da się rozwiązać (funkcja gamma nie za bardzo mnie interesuje). Ogólnych metod na rozwiązywanie takich rekurencji chyba nie ma.

Natomiast być może istnieje jakieś eleganckie powiązanie z silnią, która mimo swojej rekurencyjności jest bardziej przyswajalna

A to podstawienie to jasna sprawa, że tak próbowałem. To nie jest zadanie domowe, z którym nie próbowałem się mierzyć choć z 5 minut

[Qń]

A to podstawienie to jasna sprawa, że tak próbowałem.

I w którym miejscu utknąłeś?

Q.

[Brzytwa]

No co dalej? Jeśli z funkcji tworzących to potrzebuję wiedzieć, do czego zbiega szereg:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-n}{(n+1)!} \cdot x^{n}}\)

[Qń]

Funkcje tworzące są niepotrzebne - rozwiązaniem rekurencji:
\(\displaystyle{ b_n=b_{n-1}+c_n}\)
jest
\(\displaystyle{ b_n=b_0+ \sum_{k=1}^nc_k}\)
Wystarczy zsumować stronami tę rekurencję dla \(\displaystyle{ n}\) od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ N}\).
W Twoim zadaniu możesz zrobić podobnie.

Q.

[Brzytwa]

Funkcje tworzące są niepotrzebne - rozwiązaniem rekurencji:
\(\displaystyle{ b_n=b_{n-1}+c_n}\)
jest
\(\displaystyle{ b_n=b_0+ \sum_{k=1}^nc_k}\)
Wystarczy zsumować stronami tę rekurencję dla \(\displaystyle{ n}\) od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ N}\).
W Twoim zadaniu możesz zrobić podobnie.

Q.

Chyba głupotę napisałem, bo tamten szereg nawet da się policzyć, ale i tak otrzymamy coś brzydkiego.

Natomiast to co Ty proponujesz to tylko zmiana zapisu - dostajemy nadal do policzenia sumę, która i tak jest rekurencją

[Qń]

Nie rozumiem - jeśli szukasz wzoru jawnego na sumę \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}}\), to takiego wzoru przecież nie ma (chociaż oczywiście znamy rząd wielkości takiej sumy).

Q.