Wyznacz równania stycznych.

[yyyyy]

Wyznacz równania prostych stycznych do okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^2+4x+y^2-6y=7}\) nachylonych do osi \(\displaystyle{ OX}\) pod takim kątem \(\displaystyle{ \alpha}\), że \(\displaystyle{ \sin \alpha = -2\cos \alpha}\)

Zadanie rozwiązałam, tylko nie wiem dlaczego jest, że \(\displaystyle{ \tg \alpha =-2}\) mi wychodzi, że jest równy również \(\displaystyle{ 2}\). Dlaczego?

[kamil13151]

\(\displaystyle{ \sin \alpha = -2 \cos \alpha \Leftrightarrow \tg \alpha = -2}\), podzieliłem przez \(\displaystyle{ \cos \alpha}\), gdy się zeruje to jest sprzeczność, więc to tylko jedna możliwość.

[yyyyy]

Tylko, że ja nie wiem czy \(\displaystyle{ \cos \alpha}\) jest dodatni czy ujemny, więc dzielę tak jakby przez niewiadomą i nie wiem czy to nie zmieni znaku.
Ja zrobiłam to tak, że podniosłam to obustronnie do kwadratu, wyliczyłam oddzielnie \(\displaystyle{ \sin \alpha}\) wyszło mi \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} \vee \sin \alpha = \frac{-1}{\sqrt{5}}}\), w \(\displaystyle{ \cos \alpha}\) też mam dwie możliwości ujemna i dodatnia i z tego wyszedł mi \(\displaystyle{ \tg\ \alpha}\) ujemny i dodatni.
Jak to się zeruje? Mógłbyś mi wytłumaczyć czemu to co wyżej jest źle?

[kamil13151]

Tylko, że ja nie wiem czy \(\displaystyle{ \cos \alpha}\) jest dodatni czy ujemny, więc dzielę tak jakby przez niewiadomą i nie wiem czy to nie zmieni znaku.

Jakiego znaku? To jest równanie, a nie nierówność.

Możesz podzielić stronami zakładając, że kosinus nie jest równy zero i potem sprawdzasz co się dzieje, gdy jest.

Podnosząc do kwadratu nie wiesz jakie są znaki obu stron, więc z fałszu może powstać prawda, przykład \(\displaystyle{ 5=-5}\), do kwadratu i mamy \(\displaystyle{ 25=25}\).

Jeżeli już chcesz to zrobić podnosząc do kwadratu to na końcu wypadało by wstawić do równania i sprawdzić czy się zgadza lub rozwiązać to w ćwiartkach kiedy wiemy dla jakiego znaku rozwiązujemy.

[achsinus]

Równania stycznych: \(\displaystyle{ y=-2x+k.}\)

Układ równań:\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+4x+y^2-6y=7 \\y=-2x+k \end{cases}}\) musi mieć dokładnie jedno rozwiązanie (po podstawieniu \(\displaystyle{ \ \Delta=0).}\)