Wydzielone: Ekstrema i monotoniczność funkcji

[thenewuser]

Witam.
Czy ktoś może pomóc mi rozwiązać takie zadanko. polecenie jest zbadaj monotoniczność i wyznacz ekstrema funkcji.

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{5}{x^2-25}}\)

Dzięki za pomoc!

[bartek118]

Albo skorzystaj z tego że licznik jest stały, a mianownik kwadratowy i z własności funkcji kwadratowej, albo policz pochodną

[smallares25]

Proponuje wyliczyć pochodną z wzoru na pochodną ilorazu:

\(\displaystyle{ f' \left( x\right)= \frac{\left( 5\right)' \cdot \left( x ^{2}-25 \right)-5 \cdot \left( x ^{2}-25 \right) }{\left( x ^{2}-25 \right) ^{2} }'= \frac{0-5 \cdot 2x}{\left( x ^{2}-25 \right) ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ f'\left( x\right)=0 \Leftrightarrow -10x=0 \Leftrightarrow x=0}\)

Dla \(\displaystyle{ x=0}\) Mamy potencjalnie ekstremum (minimum lub maksimum). By to sprawdzić musimy wiedzieć kiedy pochodna jest większa od zera a kiedy mniejsza od zera. To jest właśnie badanie monotoniczności funkcji.
W naszym przypadku sprawdzamy kiedy licznik jest dodatni (funkcja rosnąca) a kiedy ujemny (funkcja malejąca).

\(\displaystyle{ f' \left( x \right) >0 \Leftrightarrow -10x>0 \Leftrightarrow x<0}\) Funkcja rosnąca dla ujemnych x.

\(\displaystyle{ f' \left( x\right)<0 \Leftrightarrow -10x<0 \Leftrightarrow x>0}\) Funkcja malejąca dla dodatnich x.

W otoczeniu punkta \(\displaystyle{ x=0}\) pochodna zmienia znak z + na - czyli mamy maksimum.
Wartość funkcji dla \(\displaystyle{ x=0}\) wynosi \(\displaystyle{ f \left( 0\right)= \frac{5}{\left( 0^{2} \right)-25 } =- \frac{5}{25} =- \frac{1}{5}}\) To jest maksymalna wartość funkcji (funkcja ma wartości ujemne).
To by było tyle na dzisiaj.

[bartek118]

No to gdzieś się pomyliłeś, bo na przykład

\(\displaystyle{ f(10) = \frac{5}{100-25} = \frac{5}{75} > 0 >- \frac{1}{5} = f(0)}\)

[smallares25]

Wszystko jest w porządku, gdyż to co napisałem dotyczy jednego z trzech przedziałów dziedziny funkcji.
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{5}{x^{2}-25}}\) By wyliczyć dziedzinę sprawdzamy w jakich punktach zeruje się mianownik i te punkty wykluczamy z dziedziny.
\(\displaystyle{ x^{2}-25 \neq 0 \Leftrightarrow \left( x-5\right) \cdot \left( x+5\right) \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 5 \vee x \neq -5}\)
W tych punktach mamy do czynienia z asymptotami pionowymi (w tych punktach brak wartości funkcji).
Wyliczmy dokąd zmierza funkcja w tych punktach, liczmy granice lewo i prawostronne.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ -5^{-}} \frac{5}{\left( x-5\right) \left( x+5\right)} =\left[ \frac{5}{-10^{-} \cdot 0^{-}} \right]=\left[ \frac{5}{0^{+}} \right] =+ \infty \\
\lim_{x\to\ -5^{+}} \frac{5}{\left( x-5\right) \left( x+5\right)} =\left[ \frac{5}{-10^{+} \cdot 0^{+}} \right]=\left[ \frac{5}{0^{-}} \right] =- \infty \\
\lim_{x\to\ 5^{-}} \frac{5}{\left( x-5\right) \left( x+5\right)} =\left[ \frac{5}{0^{-} \cdot 10^{+} } \right]=\left[ \frac{5}{0^{-}} \right] =- \infty \\
\lim_{x\to\ 5^{+}} \frac{5}{\left( x-5\right) \left( x+5\right)} =\left[ \frac{5}{ 0^{+} \cdot 10^{+} } \right]=\left[ \frac{5}{0^{+}} \right] =+ \infty \\}\)
Policzmy co się dzieje na krańcach dziedziny czyli: \(\displaystyle{ - \infty \ + \infty}\), liczymy granice:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ -\infty } \frac{5}{x^{2}-25}=\left[ \frac{5}{\left( -\infty \right)^{2} -25} \right] = \left[ \frac{5}{+ \infty } \right]=0 \\
\lim_{x\to\ +\infty } \frac{5}{x^{2}-25}=\left[ \frac{5}{\left( + \infty \right)^{2} -25} \right] = \left[ \frac{5}{+ \infty } \right]=0}\)
Widać, że asymptotą poziomą jest prosta \(\displaystyle{ y=0}\), co oznacza, że wartości funkcji na krańcach dziedziny dążą do zera.
Wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) można podzielić na 3 przedziały: 1) \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty ; -5\right)}\) 2) \(\displaystyle{ x \in \left( -5;5\right)}\) 3) \(\displaystyle{ x \in \left( 5; + \infty \right)}\)
Jakie są wartości funkcji w przedziale 1): Funkcja jest rosnąca, od 0 aż do \(\displaystyle{ +\infty}\), co pokazuję niżej (pochodna jest dodatnia):
\(\displaystyle{ f'(-10)= \frac{-10\cdot (-10)}{\left( \left( -10\right)^{2}-25 \right)^{2} }= \frac{100}{75^{2}}>0}\)
W 3) pochodna funkcja jest malejąca (pochodna ujemna), maleje od \(\displaystyle{ + \infty}\), aż do 0. Przykład dla pochodnej:
\(\displaystyle{ f'(10)= \frac{-10\cdot 10}{\left( \left( 10\right)^{2}-25 \right)^{2} }= \frac{-100}{75^{2}}<0}\)
W swoich wcześniejszych rozważaniach miałem na myśli przedział 2): gdzie dla \(\displaystyle{ x \in \left( -5;0\right)}\) pochodna jest dodatnia (funkcja rośnie), a dla \(\displaystyle{ x \in \left( 0;5\right)}\)pochodna jest ujemna (funkcja maleje). Ekstremum lokalne (maksimum) jest w punkcie \(\displaystyle{ x=0}\)i wynosi \(\displaystyle{ f(0)=- \frac{1}{5}}\). Oznacza to, że lokalnie największą wartością jest właśnie \(\displaystyle{ - \frac{1}{5}}\), nie mylić z ekstremum globalnym, które w przedziale 1) i 3) wynosi \(\displaystyle{ + \infty}\), czyli wartości funkcji są większe niż maksimum. Dlatego bartek118 w przedziale 3) wartość funkcji jest większa niż maksimum (identycznie jest w przedziale 1)).

[miodzio1988]

czemu dla \(\displaystyle{ 10}\) i \(\displaystyle{ -10}\) tylko sprawdzasz w tej pochodnej??

[smallares25]

Ponieważ to jest tylko przykład pokazujący, że dla \(\displaystyle{ x<0}\) i (\(\displaystyle{ x>0}\)) pochodne są dodatnie (ujemne), i odpowiednio: funkcja jest rosnąca od \(\displaystyle{ 0}\) aż do \(\displaystyle{ + \infty}\) (funkcja jest malejąca od \(\displaystyle{ + \infty}\) aż do \(\displaystyle{ 0}\)).

[miodzio1988]

nie jest to dowód na monotoniczność. Dla każdego takiego punktu trzeba to zbadać