Parę zadań na dowody z liczbami pierwszymi.

[Roudin]

Proszę o podpowiedz w zadaniach.
1. Dla jakich liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\) liczby \(\displaystyle{ p+10 \ p+14}\) też są pierwsze.
2. Dla jakich liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\) liczby \(\displaystyle{ p+4 \ p+14}\) też są pierwsze.

W tych dwóch zadaniach trzeba się domyślić jakie to liczby? Czy da się to jakoś inaczej rozwiązać bo jedyne co mi przychodzi do głowy to \(\displaystyle{ p=3}\)

3. Udowodnij, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ 5p^2-2}\) są pierwsze, to liczby \(\displaystyle{ 5p^2-4 \\ 5p^2+2}\) też są pierwsze

4. Udowodnij, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ 2p^2+12}\) są pierwsze, to liczby \(\displaystyle{ 2p^2+1 \\ 2p^2+11}\) też są pierwsze

5. Udowodnij, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ p, \ 8p^2+1}\) są pierwsze, to liczba \(\displaystyle{ 8p^2-1}\) też jest pierwsza.

6. Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą różną od \(\displaystyle{ 5}\), to liczba \(\displaystyle{ p^4}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 5}\)daje resztę \(\displaystyle{ 1}\)

[PeterWeter]

Ad 1 -
\(\displaystyle{ 10 = 3 \cdot 3 + 1}\)

\(\displaystyle{ 14 = 3 \cdot 5 - 1}\)

[brzoskwinka1]

Niech \(\displaystyle{ \mathcal{P}}\) oznacza zbiór liczb pierwszych. Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ \mathcal{P} \setminus \{2,3\} \subset \{ 6k+1:k\in\mathbb{N}\} \cup \{6l+5:l\in\mathbb{N} \cup \{0\}\}.}\)

[kammeleon18]

Mówiąc po naszemu: rozważ reszty z dzielenia przez 2 i przez 3