trójkąty, dowodzenie

[karolina98]

W trójkącie ABC, poprowadzono środkową AD. Udowodnij, że jeśli AC<AB to BAD<CAD. Udowodnij, że BD>CD oraz ADB>ADC. Z góry dziękuję za pomoc.

[sieniaf]

Coś jest nie tak. Skoro środkową \(\displaystyle{ AD}\) upuszczono na bok \(\displaystyle{ BC}\) to \(\displaystyle{ \left| BD\right|=\left| CD\right|}\), wiec drugiej części nie da się udowodnić, bo jest fałszywa. Natomiast I cz. można udowodnić z Twierdzenia sinusów dla trójkątów \(\displaystyle{ \Delta ADC}\) i \(\displaystyle{ \Delta ABD}\) lub korzystając z własności środkowej (która mówi, że środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach) i wzoru \(\displaystyle{ P_{\Delta}= \frac{1}{2}ab \sin \alpha}\). W obu przypadkach pamiętając, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\sin x}\) jest rosnąc dla \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0; \frac{\pi}{2} \right\rangle}\)

Ewentualnie, jeśli nie znasz tego wzoru na pole i Twierdzenia sinusów, możesz próbować to zrobić konstrukcyjnie. Wpisując ten trójkąt w okrąg i korzystając z własności: jeśli w danym okręgu łuk \(\displaystyle{ a>b}\) to kąt tworzący łuk \(\displaystyle{ a}\) jest większy od kąta tworzącego łuk \(\displaystyle{ b}\).