Podgrupa, która nie jest normalna

[paulisian]

Bardzo proszę o pomoc w znalezieniu przykładu podgrupy pewnej grupy, która nie jest podgrupą normalną. Zdaję sobie sprawę z tego, że temat nie jest jakoś specjalnie trudny i zapewne wystarczy jakąkolwiek grupę nieabelową, ale ja niestety nie mam na to pomysłu.
Naprawdę bardzo proszę o pomoc. Ten przykład tak naprawdę może być banalny.
Z góry Wam bardzo dziękuję i jeszcze raz - proszę Was o pomoc!

[justyskaf]

Podgrupą \(\displaystyle{ H}\), która nie jest normalna jest np \(\displaystyle{ \left\{ id, (2,3) \right\}}\) w \(\displaystyle{ S_3}\), bo jak złożymy dowolne elementy z tej podgrupy, to nadal "siedzimy" w grupie, \(\displaystyle{ id}\) należy do tej podgrupy i dla każdego elementu siedzi element odwrotny (bo odwrotny do permutacji \(\displaystyle{ (2,3)}\) w \(\displaystyle{ S_3}\) jest permutacja \(\displaystyle{ (2,3)}\) (czyli mamy spełnione warunki na podgrupę)
Aby pokazać, że nie jest normalna wystarczy pokazać, że nie jest spełniony warunek
\(\displaystyle{ \forall_{\sigma\in H}\forall_{\pi\in S_3} \pi\sigma\pi^{-1}\in H}\)
jak złożymy \(\displaystyle{ (1,2,3)(2,3)(1,3,2)=(1,3)}\) to widzimy, że permutacja \(\displaystyle{ (1,3)}\) nie siedzi w podgrupie

[Ein]

Pomysł z permutacjami jest dobry na mocy tw. Cayleya (każda grupa \(\displaystyle{ n}\)-elementowa zanurza się izomorficznie w \(\displaystyle{ S_n}\)). Oprócz przykładu wspomnianego powyżej, można również wziąć dowolną nietrywialną podgrupę \(\displaystyle{ A_n}\) dla \(\displaystyle{ n\ge5}\), gdyż \(\displaystyle{ A_n}\) dla \(\displaystyle{ n\ge5}\) jest prosta, co znaczy dokładnie tyle, że nie zawiera nietrywialnych podgrup normalnych (jest to bardzo ważna własność \(\displaystyle{ A_n}\) mająca kolosalne znaczenie w teorii ciał).

[paulisian]

serdecznie wam dziękuję!!