Kilka prostych zadań z szeregów

[topp]

Otóz tresc zadania jest tak ,ze musze zbadać zbieżność szeregu,kompletnie sie w tym nie łapie,wygląda to mi na czarną magie jak patrze na przyklady a zadanka zapewne są prościutkie więc prosze was o pomoc ;P

Natomiast zadanka wyglądaja tak:

1. \(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{\infty } \frac{2 ^{n}+3 ^{n} }{4 ^{n}+5 ^{n} }}\)

2. \(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{\infty } \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n} }{ \sqrt{n ^{2} + 2}}}\)

3. \(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{\infty } \left( \frac{n}{n+1} \right) ^ {n ^{2}} 3 ^{n}}\)

4. \(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{\infty } \frac{4 ^{n}}{\left(n+1\right)5 ^{n}}}\)

Oczywiście, ze szeregów, przepraszam za bład.

[Lider Artur]

Zbieżność szeregów czy ciągów? Bo jak szeregu to brakuje znaków sumy...

[topp]

hmm nikt nie jest w stanie mi pomóc z tymi przykładami?

[scyth]

topp - zobacz tu:
viewtopic.php?t=154256
Masz pełno przykładów. Pokaż z którymi przykładami masz problem i jak je liczysz.

[topp]

napisalem z czym mam problem... a na te przyklady juz patrzylem i gdybym to rozumial to niezkladalbym tego posta

[miodzio1988]

Gotowca nie będzie

W pierwszym skorzystaj z kr. Cauchyego. Jak to kryterium wyglada?

[scyth]

OK, no to na przykład pierwsze:
\(\displaystyle{ \frac{2 ^{n}+3 ^{n} }{4 ^{n}+5 ^{n} } < \frac{2 ^{n}+3 ^{n} }{4 ^{n}+4 ^{n} } = \frac{1}{2} \frac{2 ^{n}+3 ^{n} }{4 ^{n}}}\)
dalej będziesz umieć? Wiesz, dlaczego tak zrobiłem?

Drugie:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n} }{ \sqrt{n ^{2} + 2}} = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n} }{ \sqrt{n ^{2} + 2}} \cdot \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{ 1 }{ \sqrt{n ^{2} + 2}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}}\)
i teraz też powinno już pójść z górki.

[dog_1]

Ja to pierwsze policzyłem i zastanawiam się czy dobrze myślę:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \sqrt[n]{ \frac{2^n+ 3^n}{ 4^n+ 5^n } }= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{ 3^n\left( 1+ \frac{ 2^n }{3^n} \right) }{ 5^{n} \left( 1+ \frac{ 4^n}{5^n} \right) } } = \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{ \frac{ 3^{n} }{ 5^{n} } } = \frac{3}{5}}\)
Bo tego co napisał scyth nie rozumiem.
A w tym drugim idąc dalej to
\(\displaystyle{ \le \frac{1}{n\sqrt{n}}=\frac{1}{n^{3/2}}}\)

[durand6]

\(\displaystyle{ \frac{3}{5}}\) być nie może bo \(\displaystyle{ \frac{ 2^{n} }{ 3^{n} }}\) w liczniku i analogicznie w mianowniku , nie dąży do zera. Tak się liczy gdy zachodzi \(\displaystyle{ \frac{a}{ \infty }}\)