Styczna do paraboli zadanej parametrycznie

[klaudiak]

Dana jest parabola \(\displaystyle{ U(t):=at^2+bt+c}\), która przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ P=U(t_0)}\), \(\displaystyle{ Q=U(t_1)}\), \(\displaystyle{ R=U(t_2)}\). Znaleźć styczną do tej paraboli w punkcie \(\displaystyle{ Q}\).

Z góry dziękuję za wskazówki lub rozwiązanie.

[octahedron]

To nie jest równanie parametryczne. Na pewno jest dobrze?

[klaudiak]

Racja, juz to poprawiam. Poza tym wszystko jest ok. Mamy taka parabole, która interpoluje te 3 punkty odpowiadajace wartościom \(\displaystyle{ t_0,t_1,t_2}\). Czyli jej współczynniki okreslone sa jednoznacznie (wystarczy rozwiazac odpowiedni uklad równan.) Potrzebuje znaleźc styczna do tej paraboli w pkcie \(\displaystyle{ Q}\). Cała sytuacja odbywa się w przestrzeni trójwymiarowej.

[octahedron]

Sądząc po równaniu to jest przypadek dwuwymiarowy.

[klaudiak]

Nie, nie. Tutaj współczynniki paraboli \(\displaystyle{ a,b,c}\) oraz punkty \(\displaystyle{ P,Q,R}\) są z \(\displaystyle{ R^3}\) - taka sytuacja. Ale to akurat nie ma wplywu na rozw. chyba - w odpowiedziach równanie podane jest za pomcoa tych punktów i wartosci \(\displaystyle{ t_0,t_1,t_2}\). ta parabola to po prostu taka funkcaj wektorowa. uzycie słowa parabola moze jest naduzyciem...

[octahedron]

Myślałem, że to są liczby. Więc to jednak jest równanie parametryczne.

\(\displaystyle{ U'(t)=2at+b\\
U'(t_1)=2at_1+b\\
l(t)=U'(t_1)\cdot t+U(t_1)=\left(2at_1+b\right)t+Q}\)

[klaudiak]

Skad taki wzór?

[octahedron]

Skąd to całe, czy chodzi o którąś linijkę?

[klaudiak]

Własciwie chodzi mi o ostatnia linijke... Wybacz moje pewnie gupie pytania, ale jestem licealistka i nizbyt orientuje sie w analizie wychodzacej poza przypadek rzeczywisty na płaszczźnie..
Wektor pochodnej w tym punkcie jest styczny do tej paraboli. Co dalej...?

[octahedron]

Dalej to jest równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ Q}\) i równoległej do wektora \(\displaystyle{ U'(t_1)}\).