Pole powierzchni obszaru ograniczonego krzywymi

[nesz]

Pole powierzchni obszaru ograniczonego krzywymi
\(\displaystyle{ y=x^3, y=8, x=0}\)

Całka ma wyglądać tak \(\displaystyle{ \int_{0}^{2}x^3-8dx}\) ?

[MichalPWr]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2}\left( 8-x ^{3} \right)dx}\)

[nesz]

Ok, dzięki!
mam jeszcze problem z taką
\(\displaystyle{ y^2=1-x, x=-3}\)
rozbijając \(\displaystyle{ y^2=1-x}\)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{1-x} \vee}\) \(\displaystyle{ y= - \sqrt{1-x}}\)
i nie wiem co z tym fantem zrobić dalej

[MichalPWr]

\(\displaystyle{ 2 \int_{-3}^{1} \sqrt{1-x} dx}\)

[nesz]

Jesteś pewny że do 1 a nie do 0?

[MichalPWr]

a prosta \(\displaystyle{ x=-3}\)??

[nesz]

Podstawiając\(\displaystyle{ \sqrt{1-x}-( - \sqrt{1-x})=0}\)
\(\displaystyle{ x=0}\)

[MichalPWr]

Narysuj to sobie to zobaczysz że funkcja \(\displaystyle{ y^2=1-x}\) gdzie \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty ;1\right>}\)

[nesz]

A takie pole
\(\displaystyle{ y^2=4x, 4y=x^2}\)

[MichalPWr]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{4}\left( \sqrt{4x}- \frac{x ^{2} }{4} \right)dx}\)

[nesz]

A mógłbyś napisać do tego doszedłeś?

[MichalPWr]

Chodzi Ci o granice całkowania czy o równanie?

[nesz]

To i to:)

[MichalPWr]

Równanie:

\(\displaystyle{ y^2=4x \Rightarrow y= \pm \sqrt{4x}}\)
\(\displaystyle{ 4y=x^2 \Rightarrow y= \frac{x ^{2} }{4}}\) po tym widzę że z równania \(\displaystyle{ y^2=4x}\) będzie mnie interesowała tylko jego dodatnia część.
Po narysowaniu \(\displaystyle{ y= \sqrt{4x}}\) i \(\displaystyle{ y= \frac{x ^{2} }{4}}\) zauważam, że krzywa \(\displaystyle{ y= \sqrt{4x}}\) ogranicza mi moją całkę od góry, a
\(\displaystyle{ y= \frac{x ^{2} }{4}}\) od dołu, stąd \(\displaystyle{ \int \left( \sqrt{4x}- \frac{x ^{2} }{4} \right)dx}\)

Granice całkowania:
Jako, że interesuje mnie tylko "dodatnia część" tych krzywych.

\(\displaystyle{ \sqrt{4x}=\frac{x ^{2} }{4}\ \big| \cdot 4}\)

\(\displaystyle{ 4\sqrt{4x}=x ^{2}\ \big|\left( ...\right) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ 64x=x ^{4}}\)

\(\displaystyle{ 0=x^4 -64x}\)

\(\displaystyle{ 0=x(x^3-64)}\)

\(\displaystyle{ x=0 \vee x=4}\)

Więc nasza całka wyglądać będzie tak \(\displaystyle{ \int_{0}^{4}\left( \sqrt{4x}- \frac{x ^{2} }{4} \right)dx}\)