Warunek Lipschiza...

[kaktus28]

Witam przeczytałem wiele wątków na forum dotyczące warunku Lipschitza.
Niestety ciągle nie wiem ja się praktycznie sprawdza czy funkcja spełnia warunek Lipschitza
\(\displaystyle{ \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}< \alpha}\)
Wyczytałem na forum ,że lewa strona równania ma być ograniczona wtedy funkcja spełnia warunek Lipschitza ,ale jak to się sprawdza praktycznie??

[ares41]

Tam raczej powinna być nierówność \(\displaystyle{ \le}\)
Najlepiej będzie pokazać na konkretnym przykładzie.
Weźmy np. \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{2} x,\ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\)
Wtedy lewa strona przyjmuje postać
\(\displaystyle{ \frac{\left|f(x)-f(y)\right|}{\left|x-y\right|} = \frac{\left|\frac{1}{2} x-\frac{1}{2} y\right|}{\left|x-y\right|} = \frac{1}{2}}\)
Więc możemy przyjąć \(\displaystyle{ \alpha= \frac{1}{2}}\) i wtedy oczywiście \(\displaystyle{ \alpha<1}\) zatem odwzorowanie jest zwężające.

[fon_nojman]

Jeżeli funkcja ma pochodną ograniczoną przez \(\displaystyle{ M}\) to można się posłużyć twierdzeniem o wartości średniej (Lagrange'a)

\(\displaystyle{ \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} = |f'(c)| \le M, c\in(x,y)}\)

oczywiście \(\displaystyle{ c}\) jest zależne od \(\displaystyle{ x,y}\) ale \(\displaystyle{ M}\) już nie.

Np. Sinus jest Lipschizowski.

\(\displaystyle{ f(x)=\sin x, x\in \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=\cos x}\)
\(\displaystyle{ \frac{|\sin x-\sin y|}{|x-y|} = |\cos c| \le 1.}\)

[kaktus28]

Ale w twierdzeniu o wartości średniej jest znak równości a nie ma nierówności??

[fon_nojman]

Nie ma to znaczenia bo dałem nierówność nieostrą ale dla przejrzystości poprawię.

[kaktus28]

Czyli np funkcja\(\displaystyle{ f(x)=\cos ^{2}x}\) spełnia warunek Lipschitza gdyż:
\(\displaystyle{ \frac{|\cos ^{2}x-\cos ^{2}y|}{|x-y|}=|-2\sin z|}\)
\(\displaystyle{ |\sin z| \le \frac{1}{2}}\)

Zgadza się??

[fon_nojman]

Końcówka jest źle. Powinno być

\(\displaystyle{ |\sin c| \le 1}\)

stąd

\(\displaystyle{ |-2 \sin c| \le 2.}\)

Reszta ok.

[kaktus28]

Mam takie równanie:
\(\displaystyle{ \dot{x}(t)=a(t)x(t)+b(t)u(t)+f(t,x(t))}\)

Funkacja f(.) jest nie liniowa i spełnia warunk Lipschitza. Wyczytałem że dlatego że funkcja f(.) spełnia warunk Lipschitza to gwarantuje nam że równanie ma rozwiązanie i jest ono jednoznaczne.
Z czego to wynika??