[Geometria kombinatoryczna] 2012 punktów

[Utumno]

Czy istnieje 2012 punktów na płaszczyźnie takich, że żadne trzy nie są współliniowe, a odległości między każdymi dwoma są

a) liczbami całkowitymi?
b) parami różnymi liczbami całkowitymi?

[adamm]

Podbijam. Niech ktoś rzuci hintem albo przedstawi rozwiązanie.

[timon92]

hint:    

inwersja względem okręgu

[Utumno]

Ukryta treść:    

jeszcze musisz sobie poradzic jakos z faktem, ze inwersja nie zachowuje odleglosci....

[timon92]

Ukryta treść:    

owszem nie zachowuje, lecz istnieje związek \(\displaystyle{ P'Q' = \frac{PQ \cdot R^2}{OP \cdot OQ}}\), gdzie O,P,Q,P',Q',R to odpowiednio środek okręgu inwersyjnego, P,Q to jakieś punkty, P',Q' to ich obrazy inwersyjne, R promień okręgu

można wybrać na jakiejś prostej k nieprzechodzącej przez O mnóstwo punktów tak, by wszystkie odcinki występujące w powyższym wzorze były wymierne i rozważyć obrazy wybranych punktów w inwersji względem okręgu o środku O i promieniu 1

dostanie się jakiś podzbiór pewnego okręgu, w którym odległości między dowolnymi dwoma punktami są wymierne

rozważając odpowiednią jednokładność dostaniemy szukany zbiór punktów

żeby zaś wszystkie odległości były różne, to trzeba wybrać jakieś szczególne punkty na prostej k - już mi się nie chce pisać jak to zrealizować

[Utumno]

Ukryta treść:    

ok, ale jeszcze musisz byc w stanie wybrac srodek okregu tak, aby wszystkie odleglosci od niego do punktow na prostej byly wymierne ( albo co najmniej wszystkie iloczyny OP*OQ)

[timon92]

Ukryta treść:    

no to żaden problem, można wziąć O w odległości wymiernej od prostej k, O' to rzut prostokątny O na k i potem brać trójkąty pitagorejskie OO'X

[Utumno]

Ukryta treść:    

Jestes juz blisko, ale znowu zalozyles rzecz nietrywialna, a mianowicie fakt, ze istnieje liczba rzeczywista m ( = |OO'| ) taka, ze istnieje co najmniej 2012 liczb x takich ze \(\displaystyle{ m^{2} + x^{2}}\) jest kwadratem liczby wymiernej.

[timon92]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ m=1, x_n = \frac{n^2-1}{2n}}\)

[Utumno]

Znowu się przyczepię: powinno byc \(\displaystyle{ n^{2}+1}\), pozatym to rozwiazuje tylko podpunkt a), ale ok, wierzę że na konkursie dałbyś radę to precyzyjnie napisać: 6p.

[timon92]

pozwolę sobie się nie zgodzić - \(\displaystyle{ x_n}\) było napisane dobrze

owszem, to rozwiązuje tylko podpunkt a), ale odpowiednio dobierając \(\displaystyle{ x_n}\) powinno dać się jakoś uzyskać tezę podpunktu b) - jeśli komuś się nudzi, to może się zastanowić i napisać co i jak

ps. można też do tego podchodzić metodą zaprezentowaną w firmowym rozwiązaniu zadania 8 stąd:

[Swistak]

Znowu się przyczepię: powinno byc \(\displaystyle{ n^{2}+1}\), pozatym to rozwiazuje tylko podpunkt a), ale ok, wierzę że na konkursie dałbyś radę to precyzyjnie napisać: 6p.

W szczególności timon92 już dostał za to zadanie 6p . No może pomijając fakt, że jak mamy liczby wymierne, to możemy z nich zrobić całkowite

[Utumno]

No rzeczywiscie \(\displaystyle{ n^{2}-1}\), cos mi sie wydawalo