1. Punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkacie \(\displaystyle{ ABC}\). Punkty \(\displaystyle{ D, E, F}\) leżą odpowiednio we wnętrzach boków \(\displaystyle{ BC, CA}\) oraz \(\displaystyle{ AB}\), przy czym prosta \(\displaystyle{ DE}\) jest prostopadła do prostej \(\displaystyle{ CO}\) oraz prosta \(\displaystyle{ DF}\) jest prostopadła do prostej \(\displaystyle{ BO}\). Punkt \(\displaystyle{ K}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkacie \(\displaystyle{ AFE}\). Wykazać, że proste \(\displaystyle{ DK}\) oraz \(\displaystyle{ BC}\) są prostopadłe.
(Uwaga: Punkt \(\displaystyle{ Z}\) lezy we wnętrzu odcinka \(\displaystyle{ XY}\) , jeśli leży on na prostej \(\displaystyle{ XY}\) pomiędzy punktami \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ Y}\) .)
2. Dana jest liczba całkowita dodatnia \(\displaystyle{ n}\). Wyznaczyć, w zależności od \(\displaystyle{ n}\), największą możliwą liczbę całkowitą \(\displaystyle{ m}\) o następującej własności: tabelę posiadającą \(\displaystyle{ m}\) wierszy i \(\displaystyle{ n}\) kolumn można wypełnic liczbami rzeczywistymi w taki sposób, by dla każdych dwóch róznych wierszy \(\displaystyle{ [a_1, a_2,\ldots, a_n]}\) oraz \(\displaystyle{ [b_1, b_2,\ldots, b_n]}\) spełnione
było:
4. Zbiór liczb całkowitych \(\displaystyle{ A}\) nazywamy pełnym ze względu na sumy jesli \(\displaystyle{ A \subseteq A+A}\), to znaczy każdy element \(\displaystyle{ a\in A}\) jest sumą pewnej pary (niekoniecznie różnych) elementów \(\displaystyle{ b, c\in A}\). Zbiór liczb całkowitych \(\displaystyle{ A}\) nazywamy zero-wolnym ze względu na sumy jeśli \(\displaystyle{ 0}\) jest jedyną liczbą całkowitą, której nie da się przedstawić jako sumy elementów niepustego, skończonego podzbioru zbioru \(\displaystyle{ A}\).
Czy istnieje zbiór liczb całkowitych, który jest zarówno pełny za względu na sumy, jak i zero-wolny ze względu na sumy?