[MIX] Próbne zawody indywidualne MEMO
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
- Użytkownik
- Posty: 64
- Rejestracja: 18 gru 2009, o 18:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rz
- Pomógł: 1 raz
[MIX] Próbne zawody indywidualne MEMO
1. Niech \(\displaystyle{ f_{1}\left( x\right)}\) będzie wielomianem drugiego stopnia o dodatnim współczynniku kierunkowym, \(\displaystyle{ f_{n+1}\left( x\right)= f_{1}\left( f_{n}\left( x\right) \right)}\), gdzie n jest liczbą całkowitą dodatnią. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ f_{2}\left( x\right)=0}\) ma cztery różne pierwiastki rzeczywiste ujemne, to \(\displaystyle{ f_{n}\left( x\right)}\) dla każdego całkowitego dodatniego n ma \(\displaystyle{ 2^{n}}\) różnych pierwiastków rzeczywistych.
2. Niech p będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Rozważmy \(\displaystyle{ 2^{ \left( \frac{p-1}{2}\right) }}\) liczb, każda postaci \(\displaystyle{ \pm 1 \pm 2 \pm ... \pm \frac{p-1}{2}}\) (np. dla\(\displaystyle{ p=5}\) mamy \(\displaystyle{ 1+2}\), \(\displaystyle{ 1-2}\), \(\displaystyle{ -1+2}\), \(\displaystyle{ -1-2}\)). Wykazać, że wśród tych liczb reszty \(\displaystyle{ 1,2,...,p-1 (mod p)}\) wystąpią tyle samo razy każda.
3. Na szachownicy 2012x2012 znajduje się mucha i k pająków. Ruch polega na tym, że najpierw mucha przemieszcza się na pole, które ma wspólny bok z polem, na którym ona się znajduje (może też pozostać w miejscu); następnie analogicznie zachowują się pająki. Znaleźć najmniejsze k takie, że niezależnie od początkowego położenia much i pająków pająki zawsze mogą złapać muchę w skończenie wielu ruchach (przy założeniu, że mucha i pająki znają dokładny stan planszy w czasie wykonywania swojego ruchu).
4. Niech ABC będzie trójkątem ostrokątnym, C' - spodkiem wysokości spuszczonej z C, H - ortocentrum, H' - odbiciem ortocentrum względem AB, P, Q, R - rzutami prostopadłymi C' odpowiednio na AH', AC, BC, M - środek AC, O - środkiem okręgu opisanego na PQR, M' - odbiciem symetrycznym punktu M względem O. Wykazać, że B, M', H' są współliniowe.
2. Niech p będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Rozważmy \(\displaystyle{ 2^{ \left( \frac{p-1}{2}\right) }}\) liczb, każda postaci \(\displaystyle{ \pm 1 \pm 2 \pm ... \pm \frac{p-1}{2}}\) (np. dla\(\displaystyle{ p=5}\) mamy \(\displaystyle{ 1+2}\), \(\displaystyle{ 1-2}\), \(\displaystyle{ -1+2}\), \(\displaystyle{ -1-2}\)). Wykazać, że wśród tych liczb reszty \(\displaystyle{ 1,2,...,p-1 (mod p)}\) wystąpią tyle samo razy każda.
3. Na szachownicy 2012x2012 znajduje się mucha i k pająków. Ruch polega na tym, że najpierw mucha przemieszcza się na pole, które ma wspólny bok z polem, na którym ona się znajduje (może też pozostać w miejscu); następnie analogicznie zachowują się pająki. Znaleźć najmniejsze k takie, że niezależnie od początkowego położenia much i pająków pająki zawsze mogą złapać muchę w skończenie wielu ruchach (przy założeniu, że mucha i pająki znają dokładny stan planszy w czasie wykonywania swojego ruchu).
4. Niech ABC będzie trójkątem ostrokątnym, C' - spodkiem wysokości spuszczonej z C, H - ortocentrum, H' - odbiciem ortocentrum względem AB, P, Q, R - rzutami prostopadłymi C' odpowiednio na AH', AC, BC, M - środek AC, O - środkiem okręgu opisanego na PQR, M' - odbiciem symetrycznym punktu M względem O. Wykazać, że B, M', H' są współliniowe.
- jerzozwierz
- Użytkownik
- Posty: 526
- Rejestracja: 22 lut 2009, o 10:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 42 razy
[MIX] Próbne zawody indywidualne MEMO
Utrudnienie do zadania 2:
Policz, ile dokładnie jest liczb spośród rozważanych, które przystają do 1 modulo p.
Policz, ile dokładnie jest liczb spośród rozważanych, które przystają do 1 modulo p.
-
- Użytkownik
- Posty: 64
- Rejestracja: 18 gru 2009, o 18:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rz
- Pomógł: 1 raz
[MIX] Próbne zawody indywidualne MEMO
Utrudnienie do zadania 3: Rozwiąż dla sześcianu 2012x2012x2012.
- jerzozwierz
- Użytkownik
- Posty: 526
- Rejestracja: 22 lut 2009, o 10:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 42 razy