Tragiczny punkt

[Mala Mi]

Punkt M leży wewnątrz trójkąta ABC. Odległosci punktu M od boków tego trójkąta wynoszą odpowiednio x,y,z a odpowiednie wysokości tego trójkąta sa równe h1,h2,h3. Udowodnij,że:
x/h1 + y/h2 + z/h3 = 1

[g]

zapisz x, y i z za pomoca wspolrzednych rzutowych, dalej jest banalne.

[Mała Mi]

Rzutpwe? Ojej

[oppps]

a co to są wspolrzedne rzutowe?

[Anatol]

Żadne współrzędne rzutowe nie są potrzebne.

Zauważ, że 0,5xa + 0,5yb + 0,5zc = P, gdzie a, b, c - boki trójkąta, a P jego pole.

[g]

interesuje cie wszystko do wzoru (7).

[Mała Mi]

Anatol ale tam mam wysokosci i to x,y,z, to boki trojkatow wiec ja nie wiem... zgupiałam :/

[g]

boki trojkatow? a jakich? czy ty w ogole wiesz o co chodzi w zadaniu?

[Anatol]

Ja wiem, ale ty raczej nie wiesz.

[g]

gubie sie w tym, kto do kogo mowi i kto mysli, ze ja do niego mowie.

[Tomasz Rużycki]

Anatol, widać wyraźnie, że osoba, która założyła ten wątek nie zrozumiała Twojej wskazówki. Zamiast robić offtopic, mógłbyś Jej to dokładniej rozpisać, nieprawdaż? Na jedno by chyba wyszło.

\(\displaystyle{ a,b,c}\) - boki trójkąta, \(\displaystyle{ h_1, h_2, h_3}\) - wysokości opuszczone odpowiednio na boki \(\displaystyle{ a,b,c}\), \(\displaystyle{ P}\) - pole trójkąta, \(\displaystyle{ x,y,z}\) - odległości rozważanego punktu od boków trójkąta.

\(\displaystyle{ 2P = ax+by+cz}\)(*)
\(\displaystyle{ 2P=ah_1=bh_2=ch_3}\), więc

\(\displaystyle{ a=\frac{2P}{h_1}}\),
\(\displaystyle{ b=\frac{2P}{h_2}}\),
\(\displaystyle{ c=\frac{2P}{h_3}}\).

Wstawiając do (*) dostajemy:

\(\displaystyle{ 2P=\frac{2P\cdot x}{h_1} + \frac{2P\cdot y}{h_2} + \frac{2P\cdot z}{h_3}}\), dzieląc przez 2P stronami dostajesz to, co miałeś wykazać.


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki