Zbadać zbieżność szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} sin(2\pi \sqrt{n^2+1})}\)
W argumencie sinusa sztucznie dodaję \(\displaystyle{ -2\pi n}\) a następnie do kryterium ilorazowego dobieram ciąg 1/n. Dochodzę do takiej postaci:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{sin(\frac{1}{n} \frac{4\pi^2}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1})}{\frac{1}{n}}}\)
Jak obliczyć tę granicę? Wychodzi tam \(\displaystyle{ 2\pi^2}\).
Szereg, kryterium ilorazowe
-
Kamil_B
- Użytkownik
- Posty: 1958
- Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 361 razy
Szereg, kryterium ilorazowe
Witam
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{sin(\frac{1}{n} \frac{4\pi^2}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1})}{\frac{1}{n}}= \lim_{n \to \infty} \frac{sin(\frac{1}{n} \frac{4\pi^2}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1})}{\frac{1}{n} \frac{4\pi^2}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1}}\frac{4\pi^2}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1}}=\frac{4\pi^2}{2}=2\pi^2}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{sin(\frac{1}{n} \frac{4\pi^2}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1})}{\frac{1}{n}}= \lim_{n \to \infty} \frac{sin(\frac{1}{n} \frac{4\pi^2}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1})}{\frac{1}{n} \frac{4\pi^2}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1}}\frac{4\pi^2}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1}}=\frac{4\pi^2}{2}=2\pi^2}\)
-
belferkaijuz
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 13 lut 2009, o 13:46
- Płeć: Kobieta
- Pomógł: 50 razy
Szereg, kryterium ilorazowe
zastosuj kryterium warunku koniecznego:
jezeli \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\) jest zbieżny,to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_n=0}\)
zatem jeżeli
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_n \neq 0 \Rightarrow \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\)
jest rozbieżny.
Twoje kryterium (?) daje ocenę : "szereg rozbieżny"
jezeli \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\) jest zbieżny,to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_n=0}\)
zatem jeżeli
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_n \neq 0 \Rightarrow \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\)
jest rozbieżny.
Twoje kryterium (?) daje ocenę : "szereg rozbieżny"
-
miodzio1988
Szereg, kryterium ilorazowe
Takie kryterium nie istnieje koleżanko. Nie nazywajmy tego kryterium tylko mówmy, że szereg nie spełnia warunku koniecznego.belferkaijuz pisze:zastosuj kryterium warunku koniecznego: