całka e do x

[lisekpk]

Witam, muszę parę całek policzyć z definicji no i mam problem z tą jedną:

\(\displaystyle{ \int_{1}^{2} e^{x}dx = \lim_{ n\to \infty }\left[ \frac{2-1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(1 + \frac{2-1}{n}) \right] =
\lim_{ n\to \infty} \left[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(1 + \frac{i}{n}) \right]= \lim_{n \to \infty }( \frac{1}{n} + \frac{1}{n ^{2} }\sum_{i=1}^{n}i) = \lim_{n \to \infty }(e ^{ \frac{1}{n} }+ \frac{1}{ n^{2} }\sum_{i=1}^{n} e^{i}) =}\)
No i dalej mi wychodzą głupoty ;(
Ktoś pomoże dalej?

[Qń]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\left[ \frac{2-1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(1 + \frac{2-1}{n}) \right] =
\lim_{ n\to \infty} \left[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(1 + \frac{i}{n}) \right]}\)

Co prawda dalej też źle przekształcasz, ale kluczowy błąd jest tu. Przecież \(\displaystyle{ f(x)=e^x}\) (no i z lewej strony zgubiłeś \(\displaystyle{ i}\), ale to literówka pewnie).

Q.

[lisekpk]

Hm.. no próbuje już na wszystkie sposoby i nic nie wychodzi, możesz mi podać kolejny krok chociaż?

[Qń]

Skoro \(\displaystyle{ f(x)=e^x}\), to:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(1 + \frac{i}{n}\right) \right] = \lim_{ n\to \infty} \left[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}e^{1 + \frac{i}{n}} \right]}\)
Do policzenia tej sumy użyj wzoru na sumę ciągu geometrycznego.
Q.