[Nierówności] Znajdź maksimum funkcji

MCC · Post autor: **MCC** » 6 kwie 2012, o 14:59

Udowodnij, że funkcja postaci: \(\displaystyle{ \frac{x}{(x+a)^{2}}, x \ge 0}\) osiąga maksimum dla \(\displaystyle{ x=a}\), przy czym to maksimum wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{4a}}\).

Może ktoś pomóc?

Post autor: **kamil13151** » 6 kwie 2012, o 15:22

Podstawowe wiadomości o pochodnej, działy pomyliłeś.

MCC · Post autor: **MCC** » 6 kwie 2012, o 15:24

eh, sorki nie brałem tego jeszcze, zadanie jest na poziomie licealnym i raczej bez pochodnych da się rozwiązać, mimo wszystko może ktoś pokazać rozwiązanie z pochodnymi?

z góry dzięki.

Marcinek665 · Post autor: **Marcinek665** » 6 kwie 2012, o 16:51

Wystarczy udowodnić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ \frac{x}{(x+a)^2} \le \frac{1}{4a}}\), co jest równoważne po kolei:

\(\displaystyle{ x \le \frac{(x+a)^2}{4a}}\)

\(\displaystyle{ 4xa \le (x+a)^2}\)

\(\displaystyle{ (x-a)^2 \ge 0}\)

Czyli nierówność jest prawdziwa i jest przyjmowana dla \(\displaystyle{ x=a}\). Przydałoby się jeszcze założenie o tym, że \(\displaystyle{ a > 0}\), bo inaczej jest skucha.

MCC · Post autor: **MCC** » 7 kwie 2012, o 16:59

no tak, \(\displaystyle{ a \ge 0}\) dzięki ci wielkie, wesołych świąt:)