Problem z udowodnieniem wymierności

[brookpetit]

Jaki jest wynik działania:
\(\displaystyle{ \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt6...}}\)?

Doszedłem już do wniosku, że wynikiem musi być liczba 3. Kompletnie nie wiem jednak jak zabrać się za dowód. Pomożecie?
Z góry dziękuję!

[kamil13151]

\(\displaystyle{ \sqrt{6+ \sqrt{6+ \sqrt{6+ \sqrt{...} } } }=x}\)
Zatem \(\displaystyle{ \sqrt{6+x}=x \Leftrightarrow 6+x=x^2 \Leftrightarrow x=3}\)

[Marcinek665]

kamil13151, w podobny sposób łatwo można udowodnić, że jeśli:

\(\displaystyle{ x^{x^{x^{x^{...}}}} = 3}\), to \(\displaystyle{ x= \sqrt[3]{3}}\).

Innymi słowy potrzebny jest dowód, że takie wyrażenie ma wartość skończoną.

[ordyh]

Zdefiniujmy ciąg:
\(\displaystyle{ x_1 = \sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ x_{n+1} = \sqrt{6+x_n}}\)

Zauważmy, że ciąg jest ograniczony z góry przez 3, dla \(\displaystyle{ n=1}\) się zgadza, a dalej \(\displaystyle{ x_{n+1} = \sqrt{6+x_n} < \sqrt{6+3} = 3}\).
Teraz pokażemy, że ciąg jest rosnący: \(\displaystyle{ x_n = \sqrt{x_n\cdot x_n} < \sqrt{3x_n} = \sqrt{x_n+2x_n} < \sqrt{x_n+6} = x_{n+1}}\).
Więc ciąg \(\displaystyle{ x}\) jest zbieżny, teraz możemy zrobić to co kamil13151, bo \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} x_{n-1}}\)

[kamil13151]

Marcinek665, identycznie jak ja pokazuje to autor zbioru Kiełbasy.

[Marcinek665]

Marcinek665, identycznie jak ja pokazuje to autor zbioru Kiełbasy.

Więc pokazuje to źle.

O ile naprawdę jest bez dowodu zbieżności.

[kamil13151]

Zauważmy, że ciąg jest ograniczony z góry przez 3

Napisanie "zauważamy" nie jest dowodem, jak udowodnić to, że ten ciąg jest ograniczony z góry przez 3?

O ile naprawdę jest bez dowodu zbieżności.

Niestety, ale naprawdę (zadanie 26).

[ordyh]

kamil13151 dojdź do końca linijki to się dowiesz.

[kamil13151]

ordyh, pokazując, że ciąg jest rosnący korzystasz ze swojego zauważenia (nieudowodnionego).

[Marcinek665]

W którym momencie dowodu indukcyjnego ordyha, została wykorzystana nieudowodniona teza?

[Panda]

Zauważmy, że ciąg jest ograniczony z góry przez 3, dla \(\displaystyle{ n=1}\) się zgadza, a dalej \(\displaystyle{ x_{n+1} = \sqrt{6+x_n} < \sqrt{6+3} = 3}\).

Nie korzystamy z tezy, korzystamy z indukcji.

[Vax]

A dokładnie z założenia indukcyjnego

[kamil13151]

Po prostu nie zauważyłem, że korzysta z indukcji... Dziękuję ordyh, Marcinek665, Panda, Vax.

wrcaj do brekdęu chłopcze

Kto tu jest chłopcem dzieciaku...

Proszę zapoznać się z regulaminem forum. Warto na przyszłość powstrzymywać takie emocje, jeśli chce się uniknąć ewentualnych późniejszych konsekwencji.
Chromosom

[Panda]

Nie ma sprawy!

[Marcinek665]

Dziękuję (...) Marcinek665 (...).

Nie ma najmniejszego problemu