... odpowiedzi
Tak, tak dobrze widzicie to nic innego jak dowód prawdziwości hipotezy Collatza:
A mnie się wydaje, że...Hipoteza Collatza jest słuszna.Oto krótki dowód albo właściwie komentarz do dowodu.
Załózmy , że istnieje pewna liczba n , taka że ciąg Collatza jest rozbieżny lub się zapętla.Założenie to pociąga fakt, że dla liczb od 1 do n-1 generowane są ciągi Collatza zgodne z hipotezą. Komentarz:Nie przesądzając ile jest takich liczb weżmy tę najmniejszą.
Zastanowmy się czy taką liczbą n może być liczba parzysta.Otoż nie gdyż pierwszy wyraz wygenerowany przez ten ciąg będzie n/2 a jak powiedziano powyżej wszystkie liczby mniejsze od n generują ciąg Collatza zgodny z hipotezą. Czyli na generatory ciągu Collatza pretendują tylko liczby nieparzyste. Drugie istotne spostrzeżenie , to że jeśli taki ciąg istnieje to jego wyrazy muszą być większe od n i jednocześnie się nie powtarzać.I wreszczie po trzecie żaden wyraz tego ciągu nie może być równy jakiemukolwiek wyrazwi n-1 ciągów Collatza dla których znana jest odpowiedz.Czyli: 1) n jest liczbą nieparzystą 2) n generuje liczby większe od n 3) dla n wyrazy się nie powtarzają 4) dla n wszystkie wyrazy ciągu nie występują w ciągach o ktorych wiemy ,że spełniają hipotezę.
Właściwy dowod jaki przeprowadziłem polega na tzw.sicie Collatza ktorego idea sprowadza się do wykreślania kolejnych liczb naturalnych , nie spełniających warunków 2-4. W kolumnach są generatory generujące pierwsze wyrazy ciągu Collatza.Ponieważ za generatory używamy liczb nieparzystych więc ustawione są tak ,że w danej kolumnie są liczby kończące się tą samą cyfrą:
1-4 .. 3-10 5-16 7-22 9-28
11-34 13-40 15-46 17-52 19-58
21-64 23-70 25-76 27-82 29-88
31-94 33-100 35-106 37-112 39-118
41-124 43-130 45-136 47-142 49-148
51-154 53-160 55-166 57-172 59-178
**1- **4 **3 - **0 ** 5- **6 **7- **2 **9- **
* **-dowolny ciąg cyfr
Wykreślamy wszystkie liczby podzielne przez 4 wraz z ich generatorami Komentarz:Dlatego przez 4 ,że kolejne wyrazy nie będą spelniać warunku 2 Z nie wykreślonych tworzymy kolejne sito(generator-drugi wyraz ciągu)
11-17 | 3-5 | 15-23 | 7-11 | 19-29
31-47 | 23-35 | 35-53 | 27-41 | 39-59
51-77 | 43-65 | 55-83 | 47-71 | 59-89
Teraz wykreślamy te liczby ktore pojawiły się w pierwszym sicie (nie spełniony warunek 4) i tworzymy kolejne sito(generator-trzeci wyraz ciągu) i postępujemy tak jak poprzednio.I co się okazuję że postępując tak k razy wykreślimy wszystkie liczby naturalne.Czyli w sicie nie zostanie nic co oznacza że nie istnieje taka liczba n generująca ciąg Collatza ktora nie spełnia hipotezy CO KOŃCZY DOWÓD.
Cały dowód jest błędny. Jedyne co w nim poprawne to wnioski 1-4, ale tylko przy założeniu, że od 1 do n-1 generowane są ciągi Collatza zgodne z hipotezą (z tymże - ad. 3 - dla n wyrazy mogą się powtarzać jesli występuje zapętlenie, jesli mówimy o rozbiezności do nieskończoności, to oczywiście wyrazy nie mogą się powtarzać). Cała reszta to nieprawda. Zacznijmy od początku.
1) Błędny jest już pierwszy wniosek: "Założenie to pociąga fakt, że dla liczb od 1 do n-1 generowane są ciągi Collatza zgodne z hipotezą". Otóż założenie to wcale nie pociąga za sobą faktu, że dla liczb od 1 do n-1 generowane są ciągi Collatza zgodne z hipotezą. Liczba n może się na przykład zapętlać (zgodnie z założeniem), ale nic nie stoi na przeszkodzie, aby przykładowo liczba n-257 również się zapętlała (tworząc inną pętlę niż n). Z tego, że n się zapętla w żaden sposób nie wynika, że n-257 się nie zapętla. Dyskwalifikuje to cały dowód.
2) Nawet gdyby owy wniosek był prawdziwy (a dowodu owego wniosku jak na razie nie ma, więc nie można go traktować jako prawdziwego), to dowód nadal byłby fałszywy. A to dlatego, że nie mamy żadnej pewności, że postępując zgodnie z sitem pozbędziemy się w końcu wszystkich liczb naturalnych. Aby sobie to uświadomić rozpatrzmy przypadek liczby s. Bierzemy liczbę s, generujemy dla niej kolejną iterację, dzielimy ją przez 2 (bo przez 4 akurat na potrzeby przykładu się nie dzieli), powiedzmy, że okazuje się, iż nie możemy jej wykreślić, a zatem obliczamy kolejną iterację, okazuje się, że nasza liczba znowu nie dzieli się przez 4. Powtarzamy operację powiedzmy kilkanaście razy, bo akurat natrafiliśmy na tak złośliwą liczbę, której iteracje nie dzielą się przez 4 (i nie dają się wykreślić). W końcu któraś z kolei liczba dzieli się przez 4... Tylko co nam po tym, kiedy wynik owej iteracji podzielony przez 4 jest i tak większy od n (ze względu na powtarzanie czynności wiele razy). A zatem obliczamy kolejne iteracje (które nie dają się wykreślać), w końcu któraś dzieli się np. przez 8, ale to nadal nie daje efektu, bo ze względu na większą ilość dzieleń przez 2 nasz ciąg cały czas rośnie... A oto przykład na konkretnych liczbach:
s = 25165823
Kolejne iteracje:
25165823
75497470
37748735
113246206
56623103
169869310
84934655
254803966
127401983
382205950
191102975
573308926
286654463
859963390
429981695
1289945086
644972543
1934917630
967458815
2902376446
1451188223
4353564670
2176782335
6530347006
3265173503
9795520510
4897760255
14693280766
7346640383
22039921150
11019960575
33059881726
16529940863
49589822590
24794911295
74384733886
37192366943
111577100830
55788550415
167365651246
83682825623
251048476870
125524238435
376572715306
188286357653
564859072960
282429536480
Jak widać kolejne liczby dają się dzielić tylko przez 2, nie da się ich wykreślić bo są większe niż samo s i ciągle dzielą się tylko przez 2, a nie 4 (co jest warunkiem), i pomimo iż ostatnia liczba 282429536480 dzieli się teraz aż 16 razy przez 2, to daje liczbę 8825923015 która jest o wiele większa od naszej s=25165823. W przypadku liczby 8825923015 powyższa sytuacja może się znów powtórzyć, a ciąg może rosnąć w nieskończoność lub w końcu zacząć maleć i np. się zapętlić.
