zbiory mocy continuum

[justyna_g4]

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:

Dowieźć, że jeśli moc \(\displaystyle{ X}\) wynosi \(\displaystyle{ \aleph_{0}}\), to moc \(\displaystyle{ P(X)}\) wynosi continuum.

Bardzo proszę o pomoc bo nie wiem nawet jak zacząć.

[Jan Kraszewski]

Wszystko zależy od tego, co wiesz i z czego możesz korzystać.

JK

[sereq]

Powiedzmy, że zaczniemy od tego, że jeżeli \(\displaystyle{ |X|=\aleph_0}\), to z tw. Cantora \(\displaystyle{ |X|<|P(X)|}\), czyli \(\displaystyle{ |P(X)|\le \mathfrak{C}}\) (bo wiemy, że \(\displaystyle{ \aleph_0 < \mathfrak{C}}\)). Jak teraz pokazać, że \(\displaystyle{ |P(X)|=\mathfrak{C}}\) a nie coś większego ? A może to wystarczy ?

Proszę o jakąś podpowiedź.

[Jan Kraszewski]

Powiedzmy, że zaczniemy od tego, że jeżeli \(\displaystyle{ |X|=\aleph_0}\), to z tw. Cantora \(\displaystyle{ |X|<|P(X)|}\), czyli \(\displaystyle{ |P(X)|\le \mathfrak{C}}\)

Dlaczego? Z tw. Cantora wynika tylko, że \(\displaystyle{ |P(X)|>\aleph_0}\).

Trzeba zacząć od tego, jak zdefiniowane jest "bycie mocy continuum".

JK

[sereq]

\(\displaystyle{ |\mathbb{R}|=\mathfrak{C}}\) czyli coś jest mocy \(\displaystyle{ \mathfrak{C}}\) gdy jest równoliczne ze zbiorem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), lub jakimś, o którym wiemy, że jest równoliczny z \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).

[Jan Kraszewski]

No to najprościej wskazać dwie nierówności i skorzystać z tw. Cantora-Bernsteina. Dodatkowo przydatne są twierdzenia o mocach zbiorów, zwłaszcza to: \(\displaystyle{ |A|=|B| \Rightarrow |P(A)|=|P(B)|}\).

Nierówność \(\displaystyle{ |P(X)|\ge \mathfrak{c}}\) możemy np. uzasadnić, wskazując injekcję \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow P(\mathbb Q)}\). Do uzasadnienia drugiej nierówności przyda się fakt, że \(\displaystyle{ |P(\mathbb N)|=|\{0,1\}^{\mathbb N}|}\).

JK