Zbieżność d'Alemberta

[Matthew69]

Korzystając z kryterium ilorazowego d'Alemberta, zbadaj zbieżność szeregu:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+ \infty } \ \frac{n!}{ n^{n} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } = \frac{(n+1)!}{ (n+1)^{n+1} } \cdot \frac{ n^{n} }{n!} = \frac{n!(n+1)}{ (n+1)^{n+1} } \cdot \frac{ n^{n} }{n!} = \frac{n+1}{ (n+1)^{n+1} } \cdot n^{n} = ...}\)

Jak mam dalej obliczyć to wyrażenie? O szeregu wiem że jest zbieżny...

[ares41]

\(\displaystyle{ \frac{n+1}{ \left( n+1 \right) ^{n+1} } \cdot n^{n} =\frac{n+1}{ \left( n+1 \right) ^{n} \left( n+1 \right) } \cdot n^{n} = \frac{n^n}{ \left( n+1 \right) ^n} = \frac{1}{ \left( \frac{n+1}{n} \right) ^n} \rightarrow \ldots}\)

[Matthew69]

... \(\displaystyle{ \frac{1}{(1+ \frac{1}{n})^{n} } \xrightarrow{n \rightarrow + \infty } \frac{1}{e} < 1}\)

[ares41]

Nie licząc literówki w zapisie (wcięło Ci wykładnik ) jest Ok.

[Matthew69]

A takie coś jak rozwiązać korzystając z d'Alemberta?

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+ \infty } \ \frac{ (n!)^{2}}{ 2^{n^{2} } }}\)

Zacząłem tak:

\(\displaystyle{ \frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } = \frac{ ((n+1)!)^{2} }{ 2^{(n+1)^{2} } } \cdot \frac{ 2^{ n^{2} } }{ (n!)^{2} } = \frac{(n!(n+1))^{2} }{2^{ (n+1)^{2} } } \cdot \frac{ 2^{ n^{2} } }{ (n!)^{2} } = \frac{ (n!)^{2} \cdot (n+1)^{2} }{2^{(n+1)^{2} } } \cdot \frac{ 2^{ n^{2} } }{ (n!)^{2} } = \frac{(n+1)^{2} }{2^{n^{2}+2n+1 } } \cdot 2^{ n^{2} } = \frac{(n+1)^{2} }{2^{2n+1} } = ...}\)

[ares41]

Zastosuj kryterium d'Alemberta dla \(\displaystyle{ b_n=\frac{(n+1)^{2} }{2^{2n+1} }}\)

[Matthew69]

Zastosuj kryterium d'Alemberta dla \(\displaystyle{ b_n=\frac{(n+1)^{2} }{2^{2n+1} }}\)

Czyli mam jeszcze raz mam wykorzystać \(\displaystyle{ \frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } = ... ?}\)

[ares41]

Raczej \(\displaystyle{ \frac{b_{n+1}}{b_{n}}}\).

Stąd dostaniesz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } b_n}\) co potem wykorzystasz do obliczenia \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{ a_{n+1} }{ a_{n} }}\)

[Matthew69]

\(\displaystyle{ \frac{b_{n+1}}{b_{n}} = \frac{(n+2) ^{2} }{2 ^{2n+2} } \cdot \frac{2 ^{2n+1} }{(n+1) ^{2} } = \frac{(n+2) ^{2} }{4} \cdot \frac{2}{(n+1) ^{2} } = \frac{n ^{2}+4n+4 }{2n ^{2}+4n+4 } \xrightarrow{n \rightarrow + \infty } \frac{1}{2} ?}\)

[ares41]

Niestety nie.
\(\displaystyle{ b_{n+1}= \frac{(n+2)^2}{2^{2(n+1)+1}} =\frac{(n+2) ^{2} }{2 ^{2n+3} }}\)

[Matthew69]

\(\displaystyle{ \frac{2 \cdot (n+2) ^{2} }{8 \cdot (n+1) ^{2} } = \frac{1 \cdot (n+2) ^{2} }{4 \cdot (n+1) ^{2} } \xrightarrow{n \rightarrow + \infty } \frac{1}{4}}\)

[ares41]

Zgadza się. Stąd wynika, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } b_n=0}\), zatem także \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=0<1}\) , a więc wyjściowy szereg jest zbieżny.

[Matthew69]

Zgadza się. Stąd wynika, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } b_n=0}\), zatem także \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=0<1}\) , a więc wyjściowy szereg jest zbieżny.

A mógłbyś mi wyjaśnić dlaczego liczyliśmy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } b_n}\) dlaczego jest równe zero... czyli innymi słowy dlaczego tak to się wszystko potoczyło od początku

[ares41]

Obliczając \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}}\) doszliśmy do \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=...=\lim_{n \to \infty }\frac{(n+1)^{2} }{2^{2n+1} }}\).

Osobno policzyliśmy ostatnią granicę, korzystając z faktu \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left| \frac{b_{n+1}}{b_{n}} \right|<1 \Rightarrow \lim_{n \to \infty } b_n=0}\), gdzie za \(\displaystyle{ b_n}\) podstawiliśmy \(\displaystyle{ \frac{(n+1)^{2} }{2^{2n+1} }}\)

To pozwoliło nam dokończyć obliczenie granicy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=...=0<1}\) z czego, na podstawie kryterium d'Alemberta wnioskujemy o zbieżności wyjściowego szeregu.