Całka niewłasciwa z parametrem

[podludek]

Udowdnic, ze calka niewlasciwa

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{dx}{(1+x^p)(1+x^2)}}\)

nie zalezy od parametru p>0

[Hania_87]

rozkład na ułamki proste

[luka52]

Oznaczmy:

\(\displaystyle{ I(p) = \int_0^{+\infty} \frac{\mbox d x}{(1+x^p)(1+x^2)}}\)

Można zauważyć, że:

\(\displaystyle{ I'(p) = - \int_0^{+\infty} \frac{x^p \ln x}{(1+x^2)(1+x^p)^2} \; \mbox d x}\)

Wykazując, że:

\(\displaystyle{ - \int_0^1\frac{x^p \ln x}{(1+x^2)(1+x^p)^2} \; \mbox d x = \int_1^{+\infty} \frac{x^p \ln x}{(1+x^2)(1+x^p)^2} \; \mbox d x}\)

czyli innymi słowy \(\displaystyle{ I'(p) \equiv 0}\), rozwiążesz zadanie .

PS. A rozkład na ułamki proste dotyczy funkcji wymiernych - tu tak nie musi być ze względu na dowolność parametru p (w pewnym zakresie oczywiście).