Rozwiąż równania

[alex92]

Zad.1

\(\displaystyle{ x^{2} -3x+ \sqrt{5} = 0}\)

oraz podać czy ma pierwiarstki czy rozwiązaniem jest zbiór pusty

Zad.2
\(\displaystyle{ a)\ \left( \sqrt{2} -1 \right) x^{2} + 4x + 4 \sqrt{2} = 0\\
b)\ -\frac{1}{4} x^{2} + \pi x - 10 =0}\)

Zad. 3
Jednym z rozwiązań równania kwadratowego \(\displaystyle{ ax^{2} + 3x - 1 = 0}\) jest liczba \(\displaystyle{ 2}\). Wyznacz współczynnik \(\displaystyle{ a}\).

[dawid.barracuda]

W pierwszych dwóch liczysz po prostu deltę, wszystko jak w zwykłych równaniach kwadratowych. W trzecim podstaw za x dwójkę i wyznacz a.

[bereta]

Zad. 1
Obliczamy deltę:

\(\displaystyle{ \Delta = (-3)^{2}-4 \cdot 1 \cdot \sqrt{5}= 9-4 \sqrt{5}= ( \sqrt{5}-2)^{2}}\)

Skoro \(\displaystyle{ \Delta>0}\), to równanie ma dwa pierwiastki, które obliczamy ze standardowych wzorów:

\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{-b- \sqrt{\Delta} }{2a} \\
\\x_{1}= \frac{-(-3)- \sqrt{5}+2 }{2}= \frac{5- \sqrt{5} }{2}
\\
\\x_{2}= \frac{-b+ \sqrt{\Delta} }{2a}
\\
\\x_{2}= \frac{-(-3)+ \sqrt{5}-2}{2}= \frac{1+ \sqrt{5} }{2}}\)

Zad. 3
Dane:

\(\displaystyle{ b=3\\
\\
c=-1\\
\\
x_{1}=2}\)

Teraz tworzymy układ równań składający się z wzorów Viete'a i podstawiamy powyższe dane:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+x_{2}=- \frac{b}{a} \\x_{1} \cdot x_{2}= \frac{c}{a} \end{cases}
\\
\\ \begin{cases} 2+x_{2}=- \frac{3}{a} \\2x_{2}=- \frac{1}{a} \end{cases}
\\
\\ \begin{cases} 2a+ax_{2}= -3 \\2ax_{2}= -1\end{cases}
\\
\\ \begin{cases} 2a+ax_{2}= -3 \\ax_{2}= - \frac{1}{2} \end{cases}}\)

Podstawiając \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\) pod \(\displaystyle{ ax_{2}}\) w równaniu \(\displaystyle{ 2a+ax_{2}= -3}\), otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 2a- \frac{1}{2}=-3\\
\\
\\2a=- \frac{15}{6}
\\
\\a=- \frac{15}{12}=- \frac{5}{4}}\)

[alex92]

Zad. 1
Obliczamy deltę:

\(\displaystyle{ \Delta = (-3)^{2}-4 \cdot 1 \cdot \sqrt{5}= 9-4 \sqrt{5}= ( \sqrt{5}-2)^{2}}\)

dziękuje serdecznie, własnie przy liczeniu delty wyszło mi \(\displaystyle{ 9-4 \sqrt{5}}\), ale nie rozumiem czemu po przekształceniu jest \(\displaystyle{ ( \sqrt{5}-2)^{2}}\) ?

[bereta]

\(\displaystyle{ 9-4 \sqrt{5}}\) można przekształcić w następujący sposób:

\(\displaystyle{ 9-4 \sqrt{5}=5+4-4 \sqrt{5}}\)

Teraz należy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:

\(\displaystyle{ (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ 5-4 \sqrt{5}+4= (\sqrt{5}-2)^{2}}\)

[alex92]

Dziekuje