Wielomian nad cialem Z5

[Zimnx]

Witam, prosilbym o wskazanie bledu w rozwiazaniu takiego zadania:
Rozwazmy wielomiany nad cialem \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\), dla ktorych \(\displaystyle{ f(0) = 1 , f(1) = 2 , f(2)=4}\).
a) Znajdz jedyny taki wielomian stopnia nie wiekszego niz 2.
Korzystajac z wzoru Lagrange, obliczamy odpowiednie wezly:
\(\displaystyle{ L_0(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)} = \frac{x^2 - 3x+2}{2} \\
L_1(x) = \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} = -x^2 + 2x \\
L_2(x) = \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)} = \frac{x^2 -x}{2}}\)
Zatem wielomian obliczamy ze wzoru:
\(\displaystyle{ W(x) = y_0 \cdot L_0 + y_1 \cdot L_1 + y_2 \cdot L_2}\)
Po obliczeniach wychodzi nam
\(\displaystyle{ W(x) = \frac{x^2 +x + 2}{2}}\)
Ale tu jest cos nie tak, poniewaz wspolczynniki nie naleza do ciala \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\).

Z gory dziekuje,
Pozdrawiam.

[ares41]

Trochę przekombinowane, ale wygląda ok.
Teraz zauważamy, że z tego wynika, że \(\displaystyle{ 2f(x)=x^2+x+2}\), stąd \(\displaystyle{ 4f(x)=2x^2+2x+4}\). Z drugiej strony natomiast mamy \(\displaystyle{ 5f(x)=0}\). Odejmując od drugiego równania pierwsze dostajemy \(\displaystyle{ f(x)=-2x^2-2x-4}\)

[Zimnx]

Skad to \(\displaystyle{ 5f(x)=0}\)?
Ostateczna wersja nie spelnia \(\displaystyle{ f(0) = 1}\).

[ares41]

Skad to \(\displaystyle{ 5f(x)=0}\)?

Bo wszystkie współczynniki są wtedy wielokrotnościami piątki, a więc w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) są równe zeru.

Ostateczna wersja nie spelnia \(\displaystyle{ f(0) = 1}\).

Dlaczego nie? W \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) mamy \(\displaystyle{ -4=1}\)

[Zimnx]

Ok racja, zapomnialem ze jestesmy w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\).
Dzieki wielkie.

[Elvis]

Po obliczeniach wychodzi nam
\(\displaystyle{ W(x) = \frac{x^2 +x + 2}{2}}\)
Ale tu jest cos nie tak, poniewaz wspolczynniki nie naleza do ciala \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\).

Oczywiście, że należą - należałoby się zdziwić, gdyby działania algebraiczne wyprowadziły nas poza ciało. Liczba \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) to bardzo dobra liczba, i nie trzeba się upierać przy nazywaniu ją "3".