1000000! (milion silnia) - ile zer na końcu?

grem1in · Post autor: **grem1in** » 15 cze 2006, o 14:14

Witam

Ile zer na końcu ma wynik z 1000000! ?

Wie ktoś może jak to obliczyć / wyznaczyć?

Pozdrawiam

Tristan · Post autor: **Tristan** » 15 cze 2006, o 14:32

Po długiej przerwie (ah, wakacje... ) wracam do zadań
Najpier dla przykładu wyliczmy ile zer ma liczba 10!. Ma ona tyle zer ile piątek występuje w iloczynie, a to dlatego, że zera te biorą się z iloczynów 2*5. Wiemy, że 10!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10=1*2*3*4*5*6*7*8*9*2*5=2*5*2*5*3*4*6*7*8*9
Czyli mamy tutaj dwie pary 2*5, czyli liczba 10! ma na końcu 2 zera. Zauważmy, że tak naprawdę w iloczynie interesuje nas jedynie liczba piątek, bo dwójek zawsze będzie więcej
Jak postąpić z liczbą 100! ? Aby nie rozpisywać całego iloczynu, wystaczy liczbę 100 podzielić przez 5, aby wiedzieć ile jest piątek w iloczynie. Zauważmy jednak, że w ten sposób nie znajdziemy wszystkich piątek, bo np. w iloczynie pojawiają się liczby 25,50,75,100 które dają nam dwie piątki, a nie jedną. Należy więc jeszcze podzielić 100 przez \(\displaystyle{ 5^2}\) czyli 25. Z pierwszego dzielenia mamy 100:5=20, a z drugiego 100:25=4, więc liczba 100! ma na końcu 20+4=24 zera. W ten sam sposób wyliczysz, że 1000000! ma na końcu 249988 zer.

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 15 cze 2006, o 16:02

Ilosc piatek mozna wyznaczyc wiedzac, ze jesli \(\displaystyle{ \alpha}\) to potega, w jakiej wchodzi \(\displaystyle{ 5}\) w rozkladzie na czynniki pierwsze \(\displaystyle{ n!}\), to

\(\displaystyle{ \alpha = \sum_{i=1}^{\infty} ft[\frac{n}{5^i}\right]}\).

monika_orzelek · Post autor: **monika_orzelek** » 24 sty 2007, o 16:22

a 50!! ma 5 czy 7 zer. bo nie wiem czy powinnam brac pod uwage [50/25]??

luka52 · Post autor: **luka52** » 24 sty 2007, o 16:25

Chodzi Ci o 50!, prawda? Bo
\(\displaystyle{ 50!! 50!}\)
A 50! ma 12 zer na końcu.

Sage! · Post autor: **Sage!** » 24 sty 2007, o 17:18

To kto mi poda jakiś ciąg, który byłby asymptotycznie równy ciągowi \(\displaystyle{ d_n}\), który zlicza nam te zera dla liczby \(\displaystyle{ n!}\)

max · Post autor: **max** » 24 sty 2007, o 22:32

\(\displaystyle{ D_{n} = \sum\limits_{k = 1}^{\lfloor \log_{5}n \rfloor} ft\lfloor\frac{n}{5^{k}} \right\rfloor}\),
gdzie \(\displaystyle{ \lfloor x\rfloor}\) oznacza największą liczbę całkowitą nie większą (mniejszą lub równą) od \(\displaystyle{ x}\).
To będzie dokładna liczba zer.

mojki5 · Post autor: **mojki5** » 19 gru 2007, o 00:26

a jak będzie w przypadku liczby 102! ? czy to też wyjdzie że na końcu będą 24 zera?? bo 102 to się dzieli przez 5 ale z resztą:/

jasny · Post autor: **jasny** » 19 gru 2007, o 09:26

max pisze:gdzie \(\displaystyle{ \lfloor x\rfloor}\) oznacza największą liczbę całkowitą nie większą (mniejszą lub równą) od \(\displaystyle{ x}\)

Teraz sobie sam odpowiedz...

MaLiN2223 · Post autor: **MaLiN2223** » 24 mar 2012, o 22:33

Mógłby mi ktoś wyjaśnić krok po kroku z czego się składa ten wzór który podał max? nie rozumiem tych nawiasów kwadratowych i czy wynik tego działania trzeba zaokrąglać? Nie da się tego wyliczyć jakos bez zaokrągleń?

Zordon · Post autor: **Zordon** » 26 mar 2012, o 23:12

Czego konkretnie nie rozumiesz? Wszystkie oznaczenia są wyjaśnione.

MaLiN2223 · Post autor: **MaLiN2223** » 27 mar 2012, o 23:53

Ze wszystkim sobie poradziłem dziękuje bardzo za chęć pomocy
Wzór jest idealny.