Zbiory otwarte w różnych metrykach.

[iwoona]

Czy istnieje zbiór \(\displaystyle{ \emptyset \neq A \neq R^{2}}\)

a) otwarty w metryce rzeki, domknięty w metryce euklidesowej
b) domknięty w metryce rzeki, otwarty w metryce euklidesowej
c) otwarty i domknięty w metryce rzeki ?

[lukasz.przontka]

a) nie
b) nie
c) nie

Najpierw pokazujesz c) z twierdzenia:
Przestrzeń topologiczna \(\displaystyle{ X}\) jest spójna wtedy i tylko wtedy gdy jedynymi zbiorami otwarto-domkniętymi w \(\displaystyle{ X}\) są zbiory \(\displaystyle{ \emptyset}\) i \(\displaystyle{ X}\)
W a) i b) korzystasz z c) oraz z tego, że metryka rzeka jest silniejsza od euklidesowej

[iwoona]

Bardzo dziękuję. Tak właśnie myślałam, ale nie bardzo wiedziałam jak to pokazać.