Ile jest wielomianów stopnia nie większego niż n?

[Max1414]

Witam!

Mam zadanie, w którym nie wiem jak pokazać ile jest wielomianów stopnia nie większego niż n nad \(\displaystyle{ Z_{5}}\), takich że \(\displaystyle{ f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 4.}\)

Dla n=1 nie ma, dla n=2 jest jeden, dla n = 3 jest 5 takich wielomianów. Czyli nasuwa się \(\displaystyle{ 5^{n-2}}\), ale jeżeli to prawda to nie wiem jak to udowodnić.

Pozdrawiam i dziękuje za wszelką pomoc.

[marcinz]

Niech wielomian \(\displaystyle{ f}\)stopnia co najwyżej\(\displaystyle{ n}\) będzie postaci \(\displaystyle{ (a_0,a_1,...,a_n,0,0,...)}\). Rozważmy jego funkcję wielomianową \(\displaystyle{ f(x)=a_n x^n+...+a_1 x +a_0}\). Warunki, które mamy w zadaniu w języku współczynników wielomianu zapisują się następująco:
\(\displaystyle{ 1=f(0)=a_0}\),
\(\displaystyle{ 2=f(1)=a_0+a_1+a_2+...+a_n}\),
\(\displaystyle{ 4=f(2)=a_0+2 a_1+4 a_2+ 3 a_3+a_4+...+(2^n mod 5) a_n}\).
Oznacza to, że jeśli wybierzemy dowolne \(\displaystyle{ a_1,a_2,...,a_{n-2}}\), to z postaci układu widzimy, że zawsze istnieją jednoznacznie wyznaczone \(\displaystyle{ a_{n-1},a_n}\). Zatem szukanych wielomianów jest tyle ile ciągów \(\displaystyle{ n-2}\)-elementowych o wyrazach w \(\displaystyle{ Z_5}\), czyli \(\displaystyle{ 5^{n-2}}\).

[Zimnx]

Odkopuje,ale mam pewne pytanie.
Nie rozumiem tego zdania :

zawsze istnieją jednoznacznie wyznaczone \(\displaystyle{ a_{n-1},a_n}\)

Moglby ktos to wytlumaczyc?
//edit
Ok juz rozumiem, z takiego ukladu mozemy wyznac 3 wyznaczniki, \(\displaystyle{ a_0}\) i dwa wybrane, np \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) i \(\displaystyle{ a_n}\)