Pochodne cząstkowe II rzędu

[justyna_g4]

Bardzo proszę o pomoc. Mam takie coś dane:

\(\displaystyle{ w_{1}=x _{0}}\)
\(\displaystyle{ w _{2}= x _{3} ^{2}+ x _{1} ^{2}}\)
\(\displaystyle{ w _{3}=x _{2}}\)

\(\displaystyle{ u=F(w_{1},w_{2},w_{3} )}\)

Pochodne cząstkowe I rzędu policzyłam w ten sposób:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial x _{0}}= \frac{ \partial F}{ \partial w_{1} } \cdot \frac{ \partial w_{1}}{ \partial x _{0}} + \frac{ \partial F}{ \partial w_{2} } \cdot \frac{ \partial w_{2}}{ \partial x _{0}} + \frac{ \partial F}{ \partial w_{3} } \cdot \frac{ \partial w_{3}}{ \partial x _{0}}= \frac{ \partial F}{ \partial w_{1} } \cdot 1= \frac{ \partial F}{ \partial w_{1} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial x _{1}}= \frac{ \partial F}{ \partial w_{1} } \cdot \frac{ \partial w_{1}}{ \partial x _{1}} + \frac{ \partial F}{ \partial w_{2} } \cdot \frac{ \partial w_{2}}{ \partial x _{1}} + \frac{ \partial F}{ \partial w_{3} } \cdot \frac{ \partial w_{3}}{ \partial x _{1}}= \frac{ \partial F}{ \partial w_{1} } \cdot 2x _{1} =2x _{1} \frac{ \partial F}{ \partial w_{1} }}\)



\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial x _{2}}=\frac{ \partial F}{ \partial w_{3} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial x _{3}}= 2x _{3} \frac{ \partial F}{ \partial w_{2} }}\)

Dobrze to w ogóle liczę?

I dalej mam policzyć pochodne II rzędu i nie wiem jak to zrobić. Próbowałam tak:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2} u }{ \partial x _{0} ^{2}}= \frac{ \partial }{\partial x _{0}}\left( \frac{ \partial u}{ \partial x _{0}} \right)=\frac{ \partial }{\partial x _{0}}\left( \frac{ \partial F}{ \partial w _{1}} \right)=\frac{ \partial ^{2} F }{ \partial w _{1}} \cdot \frac{ \partial w_{1}}{ \partial x _{0}}=\frac{ \partial ^{2} F }{ \partial w _{1}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2} u }{ \partial x _{1} ^{2}}= \frac{ \partial }{\partial x _{1}}\left( \frac{ \partial u}{ \partial x _{1}} \right)=\frac{ \partial }{\partial x _{1}}\left( 2x _{1} \frac{ \partial F}{ \partial w _{2}} \right)= \frac{ \partial 2x _{1} }{ \partial x _{1}} \cdot \frac{ \partial F}{ \partial w _{2}} + 2x _{1} \cdot \frac{ \partial ^{2} F}{\partial w _{2}} \cdot \frac{\partial w _{2}}{\partial x _{1}}=2 \frac{ \partial F}{ \partial w _{2}} + 2x _{1} \cdot 2x _{1} \frac{ \partial ^{2}F }{ \partial w _{2}} = 2 \frac{ \partial F}{ \partial w _{2} } + 4x _{1} ^{2}\frac{ \partial ^{2}F }{ \partial w _{2}}}\)


Czy to się w ogóle tak liczy?? Bardzo proszę o pomoc.

[octahedron]

Tu mały błąd: \(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial x _{1}}= 2x _{1} \frac{ \partial F}{ \partial w_{\red 2} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial w_1}=G(w_1,w_2,w_3)}\), więc różniczkujemy analogicznie jak przy pierwszych pochodnych:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2} u }{ \partial x _{0} ^{2}}=\frac{ \partial }{\partial x _{0}}\left( \frac{ \partial F}{ \partial w _{1}} \right)=\frac{ \partial ^{2} F }{ \partial^2 w _{1}} \cdot \frac{ \partial w_{1}}{ \partial x _{0}}+\frac{\partial^2 F}{\partial w_1\partial w_2}\cdot\frac{\partial w_2}{\partial x_0}+\frac{\partial^2 F}{\partial w_1\partial w_3}\cdot\frac{\partial w_3}{\partial x_0}}\)

i pozostałe pochodne tak samo.

[justyna_g4]

No dobrze a jak w wypadku jak mam to \(\displaystyle{ 2x _{1}}\) przed tym??

[octahedron]

Pochodna iloczynu:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial^2 u}{ \partial x _{1}^2}= 2 \cdot \frac{ \partial F}{ \partial w_2 }+2x_1 \cdot \frac{\partial}{\partial x_1}\left( \frac{ \partial F}{ \partial w _{2}}\right)\\\\
\frac{ \partial^2 u}{ \partial x _{1}\partial x_2}=2x_1 \cdot \frac{\partial}{\partial x_2}\left( \frac{ \partial F}{ \partial w _{2}}\right)}\)

[justyna_g4]

Dziękuję bardzo. Będę z tym walczyć i zobaczę co mi wyjdzie.