Zadanie.
Obliczyć podaną całkę po wskazanym płacie: \(\displaystyle{ \int_{\Sigma}{(8-2z)dS}}\), gdzie \(\displaystyle{ \Sigma= \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: \ z=5- \frac{1}{2}x^2- \frac{1}{2}y^2, \ z \geq 1 \}}\).
\(\displaystyle{ z \geq 1 \ \iff \ 5- \frac{1}{2}x^2- \frac{1}{2}y^2 \geq 1 \iff ... \iff x^2 +y^2 \leq 8}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=s \\ y=t \\ z=5 -\frac{1}{2}s^2- \frac{1}{2}t^2 \end{cases}}\), \(\displaystyle{ (s,t) \in D= \{ (s,t) \in \mathbb{R}^2: \ s^2+t^2 \leq 8 \}}\)
\(\displaystyle{ \int_{\Sigma}{(8-2z)dS}= \int_{D}{(8-10+s^2+t^2) \sqrt{1+s^2+t^2}dsdt}=...= \int_0^{2 \sqrt{2}} \int_0^{2 \pi}{r \cdot (r^2-2) \sqrt{1+r^2}d \varphi dr}= 2 \pi \cdot [\frac{1}{5}(1+r^2)^\frac{5}{2}- (1+r^2)^{\frac{3}{2}}]^{2\sqrt{2}}_0= \frac{224 \pi}{5}.}\)
Bardzo proszę o sprawdzenie.
Dziękuje z góry za pomoc.