XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)

[justynas880]

1. Wykaż , że
\(\displaystyle{ \sqrt{17+12 \sqrt{2} } - \sqrt[3]{20+14 \sqrt{2} } - \sqrt[4]{17+ 12\sqrt{2} } = 0}\)

2. Wyznacz a i b, tak aby były one równocześnie pierwiastkami dwukrotnymi wielomianu:
\(\displaystyle{ W(x)=x ^{4} +2ax ^{3} +3(b+1)x ^{2} -4x+4}\)


3. Dowieść, że jeśli n jest liczbą całkowitą, to
\(\displaystyle{ \frac{n ^{5} }{120} - \frac{n ^{3} }{24} + \frac{n}{30}}\)
jest też liczbą całkowitą.


4. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a,b,c spełniających warunek
\(\displaystyle{ a+b+c= \sqrt{3} ,}\)
jest prawdziwa nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3 \sqrt{3}}\)

5. W kwadracie o polu 20 dwa wierzchołki jednego z boków połączono ze środkiem przeciwległego boku otrzymując trójkąt równoramienny. Następnie dwa wierzchołki sąsiedniego boku połączono ze środkiem przeciwległego boku, otrzymując również trójkąt równoramienny. Oblicz pole części wspólnej tych trójkątów.

Jak poradziliście sobie z tymi zadaniami?
Pamiętacie może wyniki?;)

[kamil13151]

Pierwsze powinno tak wyglądać:
\(\displaystyle{ \sqrt{17+12 \sqrt{2} } - \sqrt[3]{20+14 \sqrt{2} } - \sqrt[4]{17+ 12\sqrt{2} } = 0}\)

Czy już jest po konkursie ?

[RandomGuy]

Przy okazji dodam zadania poziom I:
1. Wędkarz złowił dużą rybę: "Ogon ważył 6 razy mniej niż głowa z tułowiem. Gdyby tułów był o 6 kg cięższy, to głowa z tułowiem ważyłaby 10 razy więcej niż ogon. Różnica wag tułowia i głowy była 3,5 razy większa niż waga ogona." Ile ważyła ta ryba?
2. Oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ W}\), nie wykonując potęgowania pod pierwiastkiem:
\(\displaystyle{ W= \sqrt{2001 ^{2}+2001^{2}*2002^{2}+2002^{2} }.}\)
3. Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ a = x + y, b = x^{2}+y^{2},c=x^{3}+y^{3}}\), to \(\displaystyle{ a^{3} = 3ab - 2c}\)
4. Dany jest trójkąt o wierzchołkach A, B, C, w którym długości odpowiednich boków są równe a, b, c. Wierzchołek C tego trójkąta zrzutowano pod kątem prostym na dwusieczne kątów zewnętrznych przy wierzchołkach A i B, otrzymując w ten sposób punkty M i N. Oblicz długość odcinka MN.
5. Oblicz pole trapezu równoramiennego, którego wysokość wynosi 14 cm, wiedząc, że jego przekątne przecinają się pod kątem prostym i dzielą się w stosunku 2:5.

Czy już jest po konkursie ?

Tak.

[justynas880]

Ma ktoś może rozwiązania 1,4 i 5 zadania?

[kamil13151]

justynas880, z tych od Ciebie ?

[justynas880]

Tak. Tylko to pierwsze powinno być tak jak Ty napisałeś;)

[kamil13151]

1:    

\(\displaystyle{ \sqrt{17+12 \sqrt{2} }= \left(3+2 \sqrt{2} \right)^2 \\ \sqrt[3]{20+14 \sqrt{2} }=\left(1+ \sqrt{2}\right)^3 \\ \sqrt[4]{17+ 12\sqrt{2} }=\left(2+ \sqrt{2}\right)^4}\)

2:    

\(\displaystyle{ W(x)=(x-a)^2(x-b)^2}\), porównanie współczynników bądź pochodna.

3:    

\(\displaystyle{ \frac{n ^{5} }{120} - \frac{n ^{3} }{24} + \frac{n}{30}= \frac{n^5-5n^3+4n}{120}= \frac{(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}{120}}\)

Na razie nie mam czasu na resztę.

[justynas880]

ok dzięki;)

[MCC]

4:    

Przekształcamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3 \sqrt{3}

\sqrt{3}( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \ge 9}\)
\(\displaystyle{ (a+b+c)( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \ge 9}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b} \ge 6}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}+b^{2}}{ab}+\frac{a^{2}+c^{2}}{ac}+\frac{c^{2}+b^{2}}{bc} \ge 6}\)
Z Tw. Cauchy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{a^{2}+b^{2}}{ab}\ge 2 \\ \frac{a^{2}+c^{2}}{ac} \ge 2 \\ \frac{c^{2}+b^{2}}{bc} \ge 2 \end{cases}}\)
Dodając stronami otrzymujemy tezę

[kamil13151]

Trochę liczenia było...

5:    

Zrobimy ogólny przypadek kwadratu o boku \(\displaystyle{ a}\). Na początku zauważmy, że \(\displaystyle{ \Delta CDF \sim \Delta EGH}\) (cecha kąt-kąt - dowód zostawiam Tobie na poćwiczenie). Obliczamy długość przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ \Delta CDF}\) i mamy \(\displaystyle{ \frac{ \frac{a}{2} }{|EG|}= \frac{ \frac{ \sqrt{5}a }{2} }{ \frac{a}{2} } \Leftrightarrow |EG|= \frac{a \sqrt{5} }{10}}\).
Następnie \(\displaystyle{ \tg \sphericalangle AED = 2}\), potem \(\displaystyle{ \sin \sphericalangle AED= \frac{2 \sqrt{5} }{5}}\) oraz \(\displaystyle{ \cos \sphericalangle AED= \frac{ \sqrt{5} }{5}}\).
Teraz możemy obliczyć sinus \(\displaystyle{ \sphericalangle HEG}\), także \(\displaystyle{ \sin \left( 180^{\circ} - 2\sphericalangle AED \right)=\sin 2\sphericalangle AED= \frac{4}{5}}\), również \(\displaystyle{ \cos 2\sphericalangle AED = \frac{3}{5}}\).
Czas na odcinek \(\displaystyle{ HG}\): \(\displaystyle{ \tg \sphericalangle HEG= \frac{4}{3} = \frac{|HG|}{\frac{a \sqrt{5} }{10}} \Leftrightarrow |HG|= \frac{2a \sqrt{5} }{15}}\). Mamy już wszystko co nam potrzeba, także \(\displaystyle{ P_{\Delta BGH}=P_{\Delta BEH}-P_{\Delta EGH}= \frac{1}{2} \cdot \frac{2a \sqrt{5} }{15} \cdot \frac{ \sqrt{5}a }{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{a \sqrt{5} }{10} \cdot \frac{2a \sqrt{5} }{15}= \frac{2a^2}{15}}\). Zatem pole części wspólnej tych trójkątów wynosi \(\displaystyle{ 2 P_{\Delta BGH}=\frac{4a^2}{15}}\). W treści zadania mamy kwadrat o polu 20, także część wspólna będzie wynosić \(\displaystyle{ \frac{16}{3}}\).

[justynas880]

Dziękuję bardzo:) Faktycznie trochę liczenia w tym piątym.
A jak myślisz, czy trójkąty CGB, CDH, DHA i jeszcze jeden na dole mają takie same pola?
Bo wtedy wystarczyło by obliczyć ich wysokość i odjąć pola tych trójkątów od pola kwadratu i też by pewnie wyszło? Tylko nie mogę dojść do tego jak by można obliczyć tą wysokość albo czy w ogóle da się ją obliczyć.

[kamil13151]

Tylko pola trójkątów \(\displaystyle{ CDH, DHA}\) są takie same, \(\displaystyle{ CGB}\) już inne.

[mortan517]

Mógłby ktoś napisać rozwiązania do zadań z poziomu pierwszego?
Wielkie dzięki -- 29 mar 2012, o 16:06 --wiem, że możecie nie mieć czasu i te sprawy, ale jakby ktoś znalazł chwilkę to proszę o rozwiązania tych 2/5 zadań, które widnieją powyżej już (to jest pierwszy poziom / etap rejonowy)

2. Oblicz wartość wyrażenia W, nie wykonując potęgowania pod pierwiastkiem:
\(\displaystyle{ W= \sqrt{2001 ^{2}+2001^{2}*2002^{2}+2002^{2} }.}\)

4. Dany jest trójkąt o wierzchołkach A, B, C, w którym długości odpowiednich boków są równe a, b, c. Wierzchołek C tego trójkąta zrzutowano pod kątem prostym na dwusieczne kątów zewnętrznych przy wierzchołkach A i B, otrzymując w ten sposób punkty M i N. Oblicz długość odcinka MN.

[RandomGuy]

Spróbuj pomyśleć sam, drugie idzie na wzorach skróconego mnożenia, w czwartym poobserwuj kąty.

[michaelmontana16]

Ja nie widzę tego 2 i 4 . Tak samo tych dwóch nie zrobiłem i miałęm 19 pkt.

W 1 wyszło 10,5
W tym z trapezem 196 ; )
dowód to tylko przekształcić i podstawić