XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 24 mar 2012, o 14:30
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Ropczyce
XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)
1. Wykaż , że
\(\displaystyle{ \sqrt{17+12 \sqrt{2} } - \sqrt[3]{20+14 \sqrt{2} } - \sqrt[4]{17+ 12\sqrt{2} } = 0}\)
2. Wyznacz a i b, tak aby były one równocześnie pierwiastkami dwukrotnymi wielomianu:
\(\displaystyle{ W(x)=x ^{4} +2ax ^{3} +3(b+1)x ^{2} -4x+4}\)
3. Dowieść, że jeśli n jest liczbą całkowitą, to
\(\displaystyle{ \frac{n ^{5} }{120} - \frac{n ^{3} }{24} + \frac{n}{30}}\)
jest też liczbą całkowitą.
4. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a,b,c spełniających warunek
\(\displaystyle{ a+b+c= \sqrt{3} ,}\)
jest prawdziwa nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3 \sqrt{3}}\)
5. W kwadracie o polu 20 dwa wierzchołki jednego z boków połączono ze środkiem przeciwległego boku otrzymując trójkąt równoramienny. Następnie dwa wierzchołki sąsiedniego boku połączono ze środkiem przeciwległego boku, otrzymując również trójkąt równoramienny. Oblicz pole części wspólnej tych trójkątów.
Jak poradziliście sobie z tymi zadaniami?
Pamiętacie może wyniki?;)
\(\displaystyle{ \sqrt{17+12 \sqrt{2} } - \sqrt[3]{20+14 \sqrt{2} } - \sqrt[4]{17+ 12\sqrt{2} } = 0}\)
2. Wyznacz a i b, tak aby były one równocześnie pierwiastkami dwukrotnymi wielomianu:
\(\displaystyle{ W(x)=x ^{4} +2ax ^{3} +3(b+1)x ^{2} -4x+4}\)
3. Dowieść, że jeśli n jest liczbą całkowitą, to
\(\displaystyle{ \frac{n ^{5} }{120} - \frac{n ^{3} }{24} + \frac{n}{30}}\)
jest też liczbą całkowitą.
4. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a,b,c spełniających warunek
\(\displaystyle{ a+b+c= \sqrt{3} ,}\)
jest prawdziwa nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3 \sqrt{3}}\)
5. W kwadracie o polu 20 dwa wierzchołki jednego z boków połączono ze środkiem przeciwległego boku otrzymując trójkąt równoramienny. Następnie dwa wierzchołki sąsiedniego boku połączono ze środkiem przeciwległego boku, otrzymując również trójkąt równoramienny. Oblicz pole części wspólnej tych trójkątów.
Jak poradziliście sobie z tymi zadaniami?
Pamiętacie może wyniki?;)
Ostatnio zmieniony 24 mar 2012, o 17:06 przez justynas880, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)
Pierwsze powinno tak wyglądać:
\(\displaystyle{ \sqrt{17+12 \sqrt{2} } - \sqrt[3]{20+14 \sqrt{2} } - \sqrt[4]{17+ 12\sqrt{2} } = 0}\)
Czy już jest po konkursie ?
\(\displaystyle{ \sqrt{17+12 \sqrt{2} } - \sqrt[3]{20+14 \sqrt{2} } - \sqrt[4]{17+ 12\sqrt{2} } = 0}\)
Czy już jest po konkursie ?
Ostatnio zmieniony 24 mar 2012, o 15:31 przez kamil13151, łącznie zmieniany 3 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 26 lis 2010, o 20:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)
Przy okazji dodam zadania poziom I:
1. Wędkarz złowił dużą rybę: "Ogon ważył 6 razy mniej niż głowa z tułowiem. Gdyby tułów był o 6 kg cięższy, to głowa z tułowiem ważyłaby 10 razy więcej niż ogon. Różnica wag tułowia i głowy była 3,5 razy większa niż waga ogona." Ile ważyła ta ryba?
2. Oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ W}\), nie wykonując potęgowania pod pierwiastkiem:
\(\displaystyle{ W= \sqrt{2001 ^{2}+2001^{2}*2002^{2}+2002^{2} }.}\)
3. Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ a = x + y, b = x^{2}+y^{2},c=x^{3}+y^{3}}\), to \(\displaystyle{ a^{3} = 3ab - 2c}\)
4. Dany jest trójkąt o wierzchołkach A, B, C, w którym długości odpowiednich boków są równe a, b, c. Wierzchołek C tego trójkąta zrzutowano pod kątem prostym na dwusieczne kątów zewnętrznych przy wierzchołkach A i B, otrzymując w ten sposób punkty M i N. Oblicz długość odcinka MN.
5. Oblicz pole trapezu równoramiennego, którego wysokość wynosi 14 cm, wiedząc, że jego przekątne przecinają się pod kątem prostym i dzielą się w stosunku 2:5.
1. Wędkarz złowił dużą rybę: "Ogon ważył 6 razy mniej niż głowa z tułowiem. Gdyby tułów był o 6 kg cięższy, to głowa z tułowiem ważyłaby 10 razy więcej niż ogon. Różnica wag tułowia i głowy była 3,5 razy większa niż waga ogona." Ile ważyła ta ryba?
2. Oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ W}\), nie wykonując potęgowania pod pierwiastkiem:
\(\displaystyle{ W= \sqrt{2001 ^{2}+2001^{2}*2002^{2}+2002^{2} }.}\)
3. Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ a = x + y, b = x^{2}+y^{2},c=x^{3}+y^{3}}\), to \(\displaystyle{ a^{3} = 3ab - 2c}\)
4. Dany jest trójkąt o wierzchołkach A, B, C, w którym długości odpowiednich boków są równe a, b, c. Wierzchołek C tego trójkąta zrzutowano pod kątem prostym na dwusieczne kątów zewnętrznych przy wierzchołkach A i B, otrzymując w ten sposób punkty M i N. Oblicz długość odcinka MN.
5. Oblicz pole trapezu równoramiennego, którego wysokość wynosi 14 cm, wiedząc, że jego przekątne przecinają się pod kątem prostym i dzielą się w stosunku 2:5.
Tak.kamil13151 pisze: Czy już jest po konkursie ?
Ostatnio zmieniony 24 mar 2012, o 18:31 przez RandomGuy, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 24 mar 2012, o 14:30
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Ropczyce
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 24 mar 2012, o 14:30
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Ropczyce
XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)
Tak. Tylko to pierwsze powinno być tak jak Ty napisałeś;)
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 24 mar 2012, o 14:30
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Ropczyce
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 24 mar 2012, o 14:30
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Ropczyce
XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)
Dziękuję bardzo:) Faktycznie trochę liczenia w tym piątym.
A jak myślisz, czy trójkąty CGB, CDH, DHA i jeszcze jeden na dole mają takie same pola?
Bo wtedy wystarczyło by obliczyć ich wysokość i odjąć pola tych trójkątów od pola kwadratu i też by pewnie wyszło? Tylko nie mogę dojść do tego jak by można obliczyć tą wysokość albo czy w ogóle da się ją obliczyć.
A jak myślisz, czy trójkąty CGB, CDH, DHA i jeszcze jeden na dole mają takie same pola?
Bo wtedy wystarczyło by obliczyć ich wysokość i odjąć pola tych trójkątów od pola kwadratu i też by pewnie wyszło? Tylko nie mogę dojść do tego jak by można obliczyć tą wysokość albo czy w ogóle da się ją obliczyć.
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)
Tylko pola trójkątów \(\displaystyle{ CDH, DHA}\) są takie same, \(\displaystyle{ CGB}\) już inne.
- mortan517
- Użytkownik
- Posty: 3359
- Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 112 razy
- Pomógł: 662 razy
XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)
Mógłby ktoś napisać rozwiązania do zadań z poziomu pierwszego?
Wielkie dzięki -- 29 mar 2012, o 16:06 --wiem, że możecie nie mieć czasu i te sprawy, ale jakby ktoś znalazł chwilkę to proszę o rozwiązania tych 2/5 zadań, które widnieją powyżej już (to jest pierwszy poziom / etap rejonowy)
2. Oblicz wartość wyrażenia W, nie wykonując potęgowania pod pierwiastkiem:
\(\displaystyle{ W= \sqrt{2001 ^{2}+2001^{2}*2002^{2}+2002^{2} }.}\)
4. Dany jest trójkąt o wierzchołkach A, B, C, w którym długości odpowiednich boków są równe a, b, c. Wierzchołek C tego trójkąta zrzutowano pod kątem prostym na dwusieczne kątów zewnętrznych przy wierzchołkach A i B, otrzymując w ten sposób punkty M i N. Oblicz długość odcinka MN.
Wielkie dzięki -- 29 mar 2012, o 16:06 --wiem, że możecie nie mieć czasu i te sprawy, ale jakby ktoś znalazł chwilkę to proszę o rozwiązania tych 2/5 zadań, które widnieją powyżej już (to jest pierwszy poziom / etap rejonowy)
2. Oblicz wartość wyrażenia W, nie wykonując potęgowania pod pierwiastkiem:
\(\displaystyle{ W= \sqrt{2001 ^{2}+2001^{2}*2002^{2}+2002^{2} }.}\)
4. Dany jest trójkąt o wierzchołkach A, B, C, w którym długości odpowiednich boków są równe a, b, c. Wierzchołek C tego trójkąta zrzutowano pod kątem prostym na dwusieczne kątów zewnętrznych przy wierzchołkach A i B, otrzymując w ten sposób punkty M i N. Oblicz długość odcinka MN.
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 26 lis 2010, o 20:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)
Spróbuj pomyśleć sam, drugie idzie na wzorach skróconego mnożenia, w czwartym poobserwuj kąty.
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 1 kwie 2012, o 11:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tennessee
XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)
Ja nie widzę tego 2 i 4 . Tak samo tych dwóch nie zrobiłem i miałęm 19 pkt.
W 1 wyszło 10,5
W tym z trapezem 196 ; )
dowód to tylko przekształcić i podstawić
W 1 wyszło 10,5
W tym z trapezem 196 ; )
dowód to tylko przekształcić i podstawić