Wykaż nierowność

[galardo1993]

\(\displaystyle{ \log _{81 ^{37}} \left(576 ^{37})< \log _{36 ^{37}} \left(192^{37})}\) proszę o jakieś wskazówki bo mi nie wychodzi. dzięki

[anna_]

na początek

\(\displaystyle{ \log _{81 ^{37}} \left(576 ^{37})< \log _{36 ^{37}} \left(192^{37})}\)

\(\displaystyle{ 37\log _{81 ^{37}} \left(576 )< 37\log _{36 ^{37}} \left(192)}\)

Potem wzór:

\(\displaystyle{ \log _{a^n}b= \frac{1}{n}\log _ab}\)

[octahedron]

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \log_{a^r}b^r=\log_ab}\), mamy więc:

\(\displaystyle{ \log_{81^{37}}576^{37}<\log_{36^{37}}192^{37}\\\\
\log_{81}576<\log_{36}192\\\\
\log_{9^2}24^2<\log_{36}192\\\\
\log_{9}(3\cdot 8)<\log_{36}(6\cdot 32)\\\\
\log_{9}8<\log_{36}32\\\\
\log_{9}\left(9\cdot \frac{8}{9}\right)<\log_{36}\left( 36\cdot\frac{8}{9}\right)\\\\
\log_{9}\frac{8}{9}<\log_{36}\frac{8}{9}}\)

czyli nierówność powinna być w drugą stronę

[galardo1993]

Hmm ale chyba nierownosc jest poprawna

[octahedron]

Racja, przecież \(\displaystyle{ \frac{8}{9}<1}\)