Całki funkcji wymiernych.

[studentin21]

Witam, mam do obliczenia kilka całek i chciałabym prosić o konsultacje. Dopiero zaczynam z całkami i nie chcę pisać głupot tylko nauczyć się je pożądnie rozwiązywać.

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{3+x}{3-x} dx}\)
W przypadku takiej całki muszę podzielić licznik przez mianownik?

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ 27x^{6} }{ 3x^{2}+2}dx}\)
Tak jak wyżej. Gdy stopień licznika jest wyższy od stopnia mianownika to zawsze dzielimy licznik przez mianownik?

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{4x-1}{ 2x^{2}-2x+1} dx}\)
Tu już mam problemy, bo znam kilka metod (m.in. innymi z liczeniem pochodnej, rozkładaniem na ułamki proste), ale to wymaga więcej pomyślunku i doświadczenia...

\(\displaystyle{ \int_{}^{} xln(x-1)dx}\)
Tutaj w ogóle nie wiem za co się zabrać...Czarna dziura.

Za jakiekolwiek rady lub fragmenty rozwiązań będę wdzięczna. Jak ktoś mi pomoże z tymi dwoma ostatnimi krok po kroku to będę przeszczęśliwa.

[M Ciesielski]

- pierwszą rozbilbym ma różnice dwóch, gdzie drugą przez części gdzie u=x, dv= reszta(?)
- druga dzielimy licznik przez mianownik
- w trzeciej pochodną mianownika jest 4x-2, więc odejmujemy i dodajemy jedynkę i rozbijamy na dwie całki, gdzie w drugiej sprowadzamy do arctg
- czwarta przez części gdzie u=x, dv to reszta, więc na boku trzeba policzyc calke z tego logarytmu, w tym celu podstawienie za to co logarytmowane i przez części.

pozdrawiam

[argv]

BaQs, a mogę zrobić to tak:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{3+x}{3-x} dx = \int \frac{3+x-x+x}{3-x}dx = \int dx +2\int \frac{x}{3-x}dx = x -2\int \frac{x}{x-3}dx = x -2\int \frac{x+3-3}{x-3}dx = ...}\)

[Mariusz M]

- pierwszą rozbilbym ma różnice dwóch, gdzie drugą przez części gdzie u=x, dv= reszta(?)

baQs to mi trochę przypomina całkowanie tangensa przez części
Metoda argv jest poprawna

[studentin21]

Mogę poprosić o gotowca 3 i 4 całki? Silę się na obliczenia ale śmieszne rzeczy mi wychodzą. Bardzo mi zależy na tych przykładach, z góry dzięki.

[Szemek]

3) całka - przykład (16.53) w wątku 82336.htm

4)
\(\displaystyle{ \int x\ln (x-1) = \begin{vmatrix} t=x-1 \\ t+1=x \\ dt=dx \end{vmatrix} = \int (t+1)\ln t dt = \int t\ln t dt + \int \ln t dt = ...}\)
dalej przez części, zobacz przykład (15.83)

[studentin21]

BaQs, a mogę zrobić to tak:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{3+x}{3-x} dx = \int \frac{3+x-x+x}{3-x}dx = \int dx +2\int \frac{x}{3-x}dx = x -2\int \frac{x}{x-3}dx = x -2\int \frac{x+3-3}{x-3}dx = ...}\)

Kończąc ten przykład rozbijam to tak:
\(\displaystyle{ ...=x-2 \int_{}^{} \frac{x-3}{x-3} dx-2 \int_{}^{} \frac{3}{x-3} = x-2x- ?? + C}\)
Jak rozwiązać to ze znakami zapytania i czy dobrze w ogóle kombinuje?


@Up
Szemku, dzięki za tę stronę z przykładami z Krysickiego. Ten przykład 4 mógłbyś rozwinąć? Mimo wszystko nie potrafię tego dokończyć

[Szemek]

Kończąc ten przykład rozbijam to tak:
\(\displaystyle{ ...=x-2 \int_{}^{} \frac{x-3}{x-3} dx-2 \int_{}^{} \frac{3}{x-3} = x-2x- ?? + C}\)
Jak rozwiązać to ze znakami zapytania i czy dobrze w ogóle kombinuje?

\(\displaystyle{ \int \frac{3}{x-3}dx = \begin{vmatrix} t=x-3 \\ dt=dx \end{vmatrix} = \int \frac{3dt}{t} = 3\ln |t| + C = 3\ln|x-3|+C}\)
Reszta ok.
Osobiście przyspieszyłbym rozwiązywanie tego przykładu:
\(\displaystyle{ \int \frac{3+x}{3-x} dx = \int \frac{-(3-x)+6}{3-x}dx = -\int dx + 6\int \frac{dx}{3-x} = \\ \begin{vmatrix} t=3-x \\ -dt = dx \end{vmatrix} = -x - 6\int \frac{dt}{t}= -x - 6\ln|3-x|+C}\)

4)
\(\displaystyle{ \int t\ln t dt = \begin{vmatrix}
u=\ln t & dv=tdt \\
du=\frac{dt}{t} & v=\frac{1}{2}t^2
\end{vmatrix} = \frac{1}{2}t^2\ln t - \frac{1}{2} \int t dt = \frac{1}{2}t^2\ln t - \frac{1}{4}t^2+C}\)
\(\displaystyle{ \int \ln t dt = \begin{vmatrix}
u=\ln t & dv=dt \\
du=\frac{dt}{t} & v=t
\end{vmatrix} = t\ln t - \int dt = t\ln t - t + C}\)
Na końcu podstaw \(\displaystyle{ t=x-1}\)