Transformata odwrotna Laplace'a (rozkład na ułamki)

[thenighthawk4]

Witam,
mam kłopot z obliczeniem transformaty odwrotnej następującej funkcji:
\(\displaystyle{ F(s) = \frac{s}{(s-1)(s+2)^{2}(s^2 + 1)}}\)

Wykonuję rozkład i wymnażam obustronnie przez lewy mianownik otrzymując:
\(\displaystyle{ s = A(s + 2)^2 (s^2 + 1) + B(s - 1)(s + 2)(s^2 + 1) + C(s - 1)(s^2 + 1) + \\ + (Ds + E)(s - 1)(s + 2)^2}\)

Następnie wybieram trzy kluczowe wartosci zmiennej \(\displaystyle{ s}\), czyli \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ -2}\), \(\displaystyle{ j}\), które powodują zerowanie pewnych składników i otrzymuję trzy równości:
\(\displaystyle{ 1 = A \cdot 9 \cdot 2 \\
-2 = C(-3 \cdot 5) \\
j = (Dj + E)(j - 1)(j + 2)^2}\)

Otrzymuję:
\(\displaystyle{ A = \frac{1}{18} \\
C = \frac{2}{15} \\
0 + j = (D - 7E) + (-7D - E)j \\
D = \frac{7}{50} \\
E = \frac{1}{50}}\)

Następnie podstawiając już dowolną wartość (w moim wypadku użyłem \(\displaystyle{ s = 2}\)), która nie zeruje czynników związanych z \(\displaystyle{ B}\), otrzymuję:
\(\displaystyle{ B = - \frac{457}{750}}\)

Nie wydaje mi się, bym z powyższych czynników mógł uzyskać wynik ostateczny:
\(\displaystyle{ f(t) = \frac{1}{450} e^{-2t} \left( 60t + 25e^{3t} - 9e^{2t} \sin{t} - 63e^{2t} \cos{t} + 38\right)}\)

Przeglądałem swoje obliczenia i nie zauważyłem, bym popełnił w nich błąd (choć to nie wykluczone). Prędzej tkwi on w moim rozumowaniu, dlatego proszę o wskazówki.
Zadanie muszę rozwiązać metodą rozkładu na ułamki proste.
Z góry dziękuję za wszelką pomoc, pozdrawiam.

[szw1710]

Proponuję jeszcze raz spokojnie wszystko sprawdzić i przeliczyć.

Wolfram Alpha: inverse Laplace transform

EDIT: widzę, że już tam byłeś Podany przez Ciebie wynik jest identycznej postaci, co i ja otrzymałem. Więc moja sugestia jest słuszna.

[octahedron]

\(\displaystyle{ F(s)\cdot(s+2)^2= \frac{s}{(s-1)(s^2 + 1)}=\frac{s}{s^3-s^2+s-1}\\
\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}s}\left( \frac{s}{s^3-s^2+s-1}\right) =\frac{-2s^3+s^2-1}{(s^3-s^2+s-1)^2}\\
B=\frac{-2 \cdot (-2)^3+(-2)^2-1}{((-2)^3-(-2)^2-2-1)^2}=\frac{19}{225}}\)

[thenighthawk4]

\(\displaystyle{ D = - \frac{7}{50} \\
E = - \frac{1}{50}}\)

Popełniłem też błąd podczas podstawiania \(\displaystyle{ s = 2}\).
Po poprawkach faktycznie \(\displaystyle{ B = \frac{19}{225}}\).
Po obliczeniu i uporządkowaniu wszystkiego, wynik staje się zgodny z oczekiwaniami.

octahedron, czy mógłbyś wyjaśnić, dlaczego różniczkujesz wyrażenie po prawej stronie? Na czym polega zaprezentowana przez Ciebie metoda?

Dziękuję za pomoc i pozdrawiam.

[octahedron]

\(\displaystyle{ \frac{W(s)}{(x-a)^nP(s)}=\frac{A_1}{x-a}+...+\frac{A_{n-1}}{(x-a)^{n-1}}+\frac{A_{n}}{(x-a)^{n}}+\frac{W_1(s)}{P(s)}\\\\
\frac{W(s)}{P(s)}=A_1(x-a)^{n-1}+...+A_{n-1}(x-a)+A_n+\frac{W_1(s)}{P(s)}(x-a)^n\\
\frac{W(a)}{P(a)}=A_n\\\\
\frac{Q(s)}{V(s)}=\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}s}\frac{W(s)}{P(s)}=(n-1)A_1(x-a)^{n-2}+...+A_{n-1}+\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}s}\left( \frac{W_1(s)}{P(s)}\right) (x-a)^n+n\frac{W_1(s)}{P(s)}(x-a)^{n-1}\\\\
\frac{Q(a)}{V(a)}=A_{n-1}\\\\
\text{itd.}\\\\
A_k=\frac{1}{(n-k)!} \cdot \frac{\mbox{d}^{n-k}}{\mbox{d}s^{n-k}}\frac{W(s)}{P(s)}{\begin{array}{|l}\\_{s=a}\end{array}}}\)