Podzbiory i prawdpopdobieństwo(2 zadania)

[Jedwabisty]

1. Dany jest n-elementowy zbiór N oraz jego dwa podzbiory A i B kolejno m- oraz k-elementowy. Oblicz prawdopodobieństwo, że te podzbiory mają dokładnie jeden element wspólny, wiedząc że \(\displaystyle{ m>0, k>0, m+k \le n+1}\).

2. Grupa 2N chłopców i 2N dziewcząt podzieliła się losowo na dwie grupy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że w każdej grupie jest tyle samo chłopców co dziewcząt. Znajdź przybliżoną wartość tego prawdopodobieństwa korzystając ze wzoru: \(\displaystyle{ n! \approx n^{n} e^{-n} \sqrt{2 \pi n}}\)

[Kartezjusz]

Tych podzbiorów może być
\(\displaystyle{ {n \choose m} {n \choose k}}\) a sprzyjające konstruujemy tak,że najpierw wybieramy
ten wspólny element (na n sposobów) teraz wybieramy dla pierwszego zbioru podzniór k-1 elementowy\(\displaystyle{ {n-1 \choose k-1}}\) i dla drugiego. musi być rozłączność więc wybieramy \(\displaystyle{ {n-k \choose m-1}}\) i mnożymy wszystkie trzy liczby idzielimy...

[Jedwabisty]

dzięki! czyli ma być \(\displaystyle{ P(A)= \frac{n {n-1 \choose k-1} {n-k \choose m-1} }{ {n \choose m} {n \choose k} }}\), tak?

[Kartezjusz]

Tak.
W drugim podział na dwie równe grupy. Dobimy z pierwszej delegację:)
\(\displaystyle{ {4N \choose 2N}}\)
Teraz wybierzmy N chłopców i N dziewczynek do pierwszej( w drugiej będzie tak samo)
\(\displaystyle{ {2N \choose N}^{2}}\)