całka z arcsinusem pod pierwiastkiem w mianowniku

[Evamarie]

Proszę o wskazówki jak ruszyć poniższą całkę:

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sqrt{\frac{1}{x^2}\cdot\arcsin x}}}\)

Podejrzewam, że \(\displaystyle{ x}\) do licznika włożyć w mianowniku sam arcsin pod pierwiastkiem zostawić...Czy to dobry punkt wyjścia?

[octahedron]

\(\displaystyle{ \int \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{\frac{1}{x^2}\arcsin x}}=\left\{\begin{array}{c} x=\sin u\\\mbox{d}x=\cos u\mbox{d}u\end{array}\right\}=\int \frac{\cos u}{\sqrt{\frac{1}{\sin^2u}\cdot u}}\mbox{d}u=\int \frac{\sin u\cos u}{\sqrt{u}}\mbox{d}u=\\=\int \frac{\sin 2u}{2\sqrt{u}}\mbox{d}u=\left\{\begin{array}{c} u=\frac{1}{2}t^2\\\mbox{d}u=t\mbox{d}t\end{array}\right\}=\int\frac{\sin t^2}{\sqrt{2}}\mbox{d}t=\frac{1}{\sqrt{2}}S(t)+C=\\=\frac{1}{\sqrt{2}}S(\sqrt{2u})+C=\frac{1}{\sqrt{2}}S(\sqrt{2\arcsin x})+C}\)

gdzie \(\displaystyle{ S(x)}\) to całka Fresnela

[Evamarie]

Dziękuję