Całki, całki - problem

[pierre]

Hej !

Możecie pomóc z następującymi całkami?

1) \(\displaystyle{ \int_{}^{} xln(x-1)dx}\) -nie wiem jak się za to zabrac, podstawiam za \(\displaystyle{ t = x-1}\) i nie wychodzi, przez części podobnie. Czy ktoś mógłby pokazac mi jak rozwiązuje się taki typ całek?

2) \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{27x^{6}}{3x^{2}+2} dx}\) tutaj jak wyżej, trzeba zastosowac dzielenie wielomianów?

3) \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{4x-1}{2x^{2}-2x+1} dx}\) tutaj mam problem, bo wynik wyszedł mi \(\displaystyle{ ln(2x^{2}-2x+1) + 2arctg(2x-1)dx}\) czy jest on poprawny?

[M Ciesielski]

pierwszą spróbuj przez części, gdzie \(\displaystyle{ u=x \ i \ dv = ln(x-1)dx}\) i przy obliczaniu v podstaw t=x-1, możesz tez od razu podstawic t=x-1, wtedy x = t+1 (dx=dt) i rozdzielasz na dwie całki.

w drugiej podziel licznik przez mianownik (dzielenie wielomianów)

w trzeciej odejmij i dodaj jedynkę w liczniku i rozbij na dwie calki, w jednej w liczniku będzie 4x-2, w drugiej 1 - w pierwszej licznik jest pochodną mianownika więc wiadomo co zrobić, w drugiej w zauwazamy, że delta jest ujemna więc procedura arcus tangens.

Pozdrawiam.

[pierre]

Dzięki za pomoc, co do tej drugiej całki, z dzielenia wyszło mi
\(\displaystyle{ \int_{}^{} 9x^{4}-6x^{2}+4 dx - \int_{}^{} \frac{8}{3x^{2}+2}dx}\)
dobrze?

Jak mam potraktowac tą drugą całkę procedurą arcus tg?
Wyjąłem przed nawias \(\displaystyle{ \frac{8}{3}}\) i mam \(\displaystyle{ \frac{8}{3} \int_{}^{} \frac{dx}{x^{2}+\frac{2}{3}}}\)
Teraz wyszło mi, że podstawiam
\(\displaystyle{ x = \sqrt{\frac{2}{3}}t

dx = \sqrt{\frac{2}{3}}dt}\)

czyli \(\displaystyle{ \frac{8}{3} \int_{}^{} \frac{\sqrt{\frac{2}{3}}dt}{ \frac{2}{3}t^{2}+ \frac{2}{3} }}\)

czyli wyjmuję najpierw \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{2}{3}}}\) przed całkę, a później \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) przed całkę,
zostaje mi
\(\displaystyle{ \frac{8}{3} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{2} \int_{}^{} \frac{dt}{t^{2}+1}}\)
co łącznie daje mi \(\displaystyle{ \frac{24}{6} \cdot \sqrt{ \frac{2}{3} } arctg t}\)

czyli \(\displaystyle{ 4 \cdot \sqrt{ \frac{2}{3}} arctg t}\)

czyli w tym momencie \(\displaystyle{ t = \sqrt{ \frac{2}{3}}x \cdot \frac{3}{2} ?}\)

W wyniku wychodzi mi z tej całki
\(\displaystyle{ \frac{4}{3} \sqrt{6} arctg \sqrt{ \frac{3}{2} } x}\)

Gdzie zrobiłem błąd, i jak otrzymac taki wynik jak w odp?:) Dzięki za pomoc

[Yeti]

A jaki wynik masz w odpowiedzi?

Błąd zrobiłeś na samym końcu \(\displaystyle{ t=\sqrt{ \frac{3}{2} } x}\), wynik zaś \(\displaystyle{ 4 \sqrt{ \frac{3}{2} }arctg \sqrt{ \frac{3}{2} } x + C}\)

[pierre]

A jaki wynik masz w odpowiedzi?

Błąd zrobiłeś na samym końcu \(\displaystyle{ t=\sqrt{ \frac{3}{2} } x}\), wynik zaś \(\displaystyle{ 4 \sqrt{ \frac{3}{2} }arctg \sqrt{ \frac{3}{2} } x + C}\)

Mógłbyś wyjaśnic dlaczego \(\displaystyle{ t=\sqrt{ \frac{3}{2} } x}\)? Nigdy nie byłem dobry w przekształceniach

Wynik w odp to \(\displaystyle{ \frac{4}{3} \sqrt{6} arctg \sqrt{ \frac{3}{2} } x}\)

Skąd oni tam wzięli ten \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\)?

[belferkaijuz]

pierweszą całkę przez części, ale :\(\displaystyle{ \begin{cases} u=ln(x-1).....u^{,}= \frac{1}{x-1} \\ v^{,}=x...v= \frac{1}{2}x^2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \int{xln(x-1)}dx= \frac{1}{2}x^2ln(x-1)- \frac{1}{2} \int \frac{(x^2-1)+1}{x-1}dx}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{2}x^2ln(x-1)- \frac{1}{2}( \int(x+1)dx+ \int \frac{1}{x-1}dx)}\)
dalej łatwo i bez podstawiania

[Nakahed90]

Usunięcie niewymierności
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}}\)

[belferkaijuz]

w drugiej całce trzeba wyłączyć w mianowniku 2 :

\(\displaystyle{ \int \frac{8}{2( \frac{3}{2}x^2+1 )}dx=4 \int \frac{1}{( \sqrt{ \frac{3}{2} }x)^2+1 }dx=4 \sqrt{ \frac{2}{3} }arctg \sqrt{ \frac{3}{2} }x=4 \sqrt{ \frac{6}{9} }arctg \sqrt{ \frac{3}{2} }x+C}\)
jest Twój wynik-- 17 cze 2009, o 14:55 --sądzę, że wygodnie jest stosować wzór:

\(\displaystyle{ \int{f(x)}dx=F(x)+C \Rightarrow \int{f(ax+b)}dx= \frac{1}{a} F(ax+b)+C}\)
np: \(\displaystyle{ \int \frac{1}{(ax+b)^2+1}dx= \frac{1}{a}arctg(ax+b)+C}\)