Udowdnić, że kula zawarta jest w kuli....

[Kitka1990]

\(\displaystyle{ \forall x\in B\left( a,r _{1} \right), r _{1}>0}\)
\(\displaystyle{ \exists r_{2}>0: x\in B\left(x,r_{2}\right) \subset B\left(a,r_{1}\right)}\)

Bardzo proszę o pomoc w udowodnieniu.... Nawet nie wiem od czego zacząć.... Narysować i powiedzieć o tym umiem... ale dlaczego tak jest??? Wydaje się trywialne, że dla każdej kuli znajdzie się inną kulę o innym promieniu zawartej w tej większej.... Ale jak to napisać??

[szw1710]

Rzeczywiście zrób rysunek na płaszczyźnie i w zależności od \(\displaystyle{ x}\) dobierz ten promień \(\displaystyle{ r_2}\). Ten wybór będzie dobry ogólnie w każdej metryce, gdyż definicja kuli jest taka jak koła na płaszczyźnie: kula to zbiór wszystkich punktów odległych od środka nie więcej niż promień (domknięta) lub mniej niż promień (otwarta).

[Kitka1990]

Nie wiem czy wystarczy... A na to jest jakiś dowód?

[szw1710]

No więc gdy dokonasz tego wyboru, musisz jeszcze udowodnić inkluzję. Na płaszczyźnie w metryce euklidesowej to widać, ogólnie niekoniecznie, ale tak będzie. Oczywiście, że wymaga to dowodu, czego może poprzednio nie dopowiedziałem. Dowód to standardowe zastosowanie aksjomatów metryki, w szczególności nierówności trójkąta.

[ares41]

Można też skorzystać z faktu, że każda kula jest zbiorem otwartym.

[szw1710]

Nie każda kula, tylko kula otwarta, tj. z mniejszością w definicji.

Sądzę, że pytanie było właśnie w kontekście otwartości kuli, bo to właśnie trzeba wykazać.

[ares41]

Pisząc o kuli oczywiście miałem na myśli \(\displaystyle{ B \left( x,r \right) = \left\{ y\in X|\ d \left( x,y \right) <r \right\}}\)

Rzeczywiście, gdyby należało tylko skorzystać z otwartości kuli to zadanie byłby trywialne, więc pewnie chodziło o udowodnienie tej otwartości

Ps. Kitka1990, jeżeli jednak można skorzystać z przytoczonej własności, to wystarczy odpowiednio przeczytać def. otwartości zbioru.

[lukasz.przontka]

Mamy dowolną kulę \(\displaystyle{ B_d(x_0,R)}\) oraz ustalony dowolny punkt \(\displaystyle{ x \in B_d(x_0,R)}\).
Niech \(\displaystyle{ \alpha := d(x_0,x)}\) oraz \(\displaystyle{ r:= \frac{R-\alpha}{2}}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ B_d(x,r) \subset B_d(x_0,R)}\).

Wybierzmy dowolne \(\displaystyle{ y \in B_d(x,r)}\). Obliczmy \(\displaystyle{ d(x_0, y)}\).

\(\displaystyle{ d(x_0, y) \le d(x_0, x) + d(x,y) \le \alpha + r = \frac{R-\alpha}{2} + \alpha \le R}\)

A zatem dla dowolnego \(\displaystyle{ y \in B_d(x,r)}\) mamy, że \(\displaystyle{ y \in B_d(x_0,R)}\), co należało pokazać.