długość łuku krzywej... do policzenia

[hero_18]

Mam do policzenia trzy zadanka i nie bardzo wiem jak sie za nie zabrac... wzory znam, potrafie podstawic ale nie umiem tego dalej policzyc... prosze o pomoc w rozwiazaniu tych zadan... Dzieki

1) \(\displaystyle{ y= \sqrt{9-x ^{2} }}\) dla \(\displaystyle{ x \in [0, 2]}\)

2) \(\displaystyle{ x(t)= e^{t}sint}\) , \(\displaystyle{ y(t)=e ^{t}cost}\) dla \(\displaystyle{ t \in [0, \frac{\pi}{2} ]}\)

3) \(\displaystyle{ x(t)=a(cost+tsint)}\) , \(\displaystyle{ y(t)=a(sint-tcost)}\), dla \(\displaystyle{ t \in [0, \frac{\pi}{2} ]}\)

[Qniczynka]

1) \(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \sqrt{1+((\sqrt{9-x^2})')^2} \mbox{d}x}\) to ze wzoru na dł. łuku, który piszesz, że znasz. po kilku przekształceniu dostajemy: \(\displaystyle{ 3 \int_{0}^{2} \frac{ \mbox{d}x}{\sqrt{9-x^2}}}\).
stosujemy podstawienie \(\displaystyle{ x=3t, dx=3dt}\) i dostajemy \(\displaystyle{ 3 \left[arcsin{\frac{x}{|3|}}\right]_{0}^{2}}\), czyli dł. łuku wynosi \(\displaystyle{ 3arcsin{\frac{2}{3}}}\).
niespecjalnie elegancki wynik.

[hero_18]

Qniczynka dzięki że zainteresowałaś się tymi zadaniami... tylko ja właśnie nie bardzo wiem jakich przekształceń muszę dokonać, żeby dojść do takiego wyniku jak Twój. jeśli możesz to napisz mi co po kolei muszę zrobić. Dziękuję !!!

[Qniczynka]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \sqrt{1+((\sqrt{9-x^2})')^2} dx \\
\int_{0}^{2} \sqrt{1+ \left( \frac{-2x}{2 \sqrt{9-x^2} \right)^2} dx \\
\int_{0}^{2} \sqrt{1+ \frac{x^2}{9-x^2}} dx \\
\int_{0}^{2} \sqrt{ \frac{9 - x^2 + x^2}{9-x^2}} dx \\
3 \int_{0}^{2} \frac{dx}{ \sqrt{9-x^2}}}\)

liczę pochodną (funkcji złożonej), skracam dwójki, podnoszę do kwadratu, sprowadzam do wspólnego mianownika. jaśniej się nie da. podstawy są w kompendium i na wikipedii. pozdrawiam.