Obliczyć długość podanych krzywych

[turbowarkocz]

Witam, mam problem z obliczeniem długości podanych krzywych:

a) \(\displaystyle{ x = acos^3t , y = asin^3t}\)
b) \(\displaystyle{ x = (t^2 - 2)sint + 2tcost , y =(2 - t^2)cost + 2tsint , 0 \le t \le \pi}\)

[aalmond]

Pokaż, jak liczysz.

[turbowarkocz]

to jest żywcem ze zbioru zadań, na pewno nie popełniłem błędu w przepisywaniu. \(\displaystyle{ a}\) jest stałą, a całkę trzeba policzyć po \(\displaystyle{ t}\) (w sensie zmienną jest \(\displaystyle{ t}\)). dalej nie mam zielonego pojęcia, co z tym zrobić.

[aalmond]

Policz pochodne. Wstaw do wzoru na długość łuku krzywej.

[turbowarkocz]

nie rozumiem. mam układ osi. skoro argumentem jest \(\displaystyle{ t}\), to jak mam to zinterpretować na osiach \(\displaystyle{ x, y}\)?

[aalmond]

Wzór na długość łuku krzywej:

\(\displaystyle{ L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left [ x'(t) \right ]^2 + \left [ y'(t) \right ]^2} \mbox{d} t}\)

ad. 1
To jest równanie asteroidy.
\(\displaystyle{ x'(t) = 3a \cos^2 t \cdot (- \sin t) \\
y'(t) = 3a \sin^2 t \cdot \cos t \\ \\
0 \le t \le 2 \pi}\)

Podstaw do wzoru i licz.

[turbowarkocz]

o, świetnie, wielkie dzięki. a jako, że jestem dociekliwy drań to mógłbyś mi wytłumaczyć, czemu 1 zostało zastąpione przez funkcję w tym wzorze?

[aalmond]

czemu 1 zostało zastąpione przez funkcję w tym wzorze?

Domyślam się, że masz na myśli inny wzór kiedy krzywa przedstawiona jest równaniem \(\displaystyle{ y =f(x)}\):

\(\displaystyle{ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left [ f'(x) \right ]^2} \mbox{d}x}\)