[Stereometria][Kombinatoryka] Bagaż lotniczy

[koobstrukcja]

Regulamin zezwala na odprawienie bagażu prostopadłościennego o łącznej długości jego trzech wymiarów do ustalonej wartość (np. 160 cm). Czy da się "oszukać" celników wstawiając przekraczający dany limit sumy długości bagaż prostopadłościenny do innego bagażu spełniającego kryteria?

[Oceansoul]

Nie można.

Lemat: W świecie 2D nie można oszukać celników.

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/h/33752d5c256/

Niech \(\displaystyle{ BDHF(BH=a, HF=b)}\) będzie prostokątem, który chcemy umieścić wewnątrz prostokąta, którego krawędzie są równoległe do osi \(\displaystyle{ OX}\) i \(\displaystyle{ OY}\). Niech \(\displaystyle{ 0 \le \epsilon \le \frac{\pi}{4}}\) będzie kątem między jedną z osi symetrii \(\displaystyle{ BDFH}\) a jedną z osi układu współrzędnych. No i jeszcze środek BDFH pokrywa się z początkiem UW. Wtedy przez trójkąty ABH, BCD, DEF i FGH nie mogą przechodzić krawdędzie dużego prostokąta. A więc na pewno jego obwód jest równy co najmniej
\(\displaystyle{ AC + CE + EG + GA=2( AB + BC + CD + DE)=2(asin\epsilon+bcos\epsilon+asin\epsilon+bsin\epsilon)=2(a+b)(sin\epsilon + cos\epsilon)>2(a+b)}\).

Teraz przeniesiemy to na trzeci wymiar. Jeśli para ścian prostopadłościanu wewnętrznego leży na parze ścian zewntętrznego to na mocy lematu teza jest oczywista. W przeciwnym wypadku, jeśli wyobraźnia mnie nie zawodzi, istnieje taki prostopadłościan, którego 2 ściany leżą na ścianach zewnętrznego, który ma obwód większy od rozpatrywanego, który z kolei ma mniejszy od zewnętrznego.

[Swistak]

Też wymyśliłem dowód dla 2D (a dokładniej mówiąc, to przypomniałem go sobie, bo był w Delcie), który działa dla dowolnej figury wypukłej umieszczonej wewnątrz innej figury wypukłej. Po kolei odcinamy kawałki większego prostokąta według prostych zawierających boki mniejszego wielokąta i korzystamy z nierówności trójkąta. Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić w 3D, ale niestety dla pól, a nie dla obwodu. A z Twojego rozumowania dla 3D raczej nic nie wynika. Raczej schylałbym się do dowodu, że tak się nie da, aczkolwiek nie wykluczałbym na 100%, że przypadkiem taki może istnieje.

[mzs]

Poprawną odpowiedzią jest, że nie da się oszukać celników. Łatwo się to pokazuje w układzie współrzędnych korzystając z nierówności \(\displaystyle{ \sqrt[]{x^2+y^2+z^2}\le \left| x\right| +\left| y\right| +\left| z\right|}\).