[Planimetria] trójkat równoboczny

[darek20]

Niech \(\displaystyle{ ABC}\) bedzie trójkatem oraz niech istnieją punkty \(\displaystyle{ X, Y, Z}\) na bokach tego trójkąta \(\displaystyle{ BC, CA, AB}\), tak że \(\displaystyle{ AX=BY=CZ}\) oraz \(\displaystyle{ BX=CY=AZ}\). Pokaż że trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest równoboczny.

[mzs]

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ a=BC,b=CA,C=AB}\) . Nie zmniejszając ogólności rozważamy dwa przypadki:

Przypadek 1.\(\displaystyle{ a\ge b\ge c}\)

Z twierdzenia cosinusów:
\(\displaystyle{ CZ^{2}=\left(b-AZ\right)^{2}+\left(1-\cos(\angle A)\right)\cdot2\cdot b\cdot AZ}\)
\(\displaystyle{ \ge\left(c-AZ\right)^{2}+\left(1-\cos(\angle B)\right)\cdot2\cdot c\cdot AZ}\)
\(\displaystyle{ =\left(c-BX\right)^{2}+\left(1-\cos(\angle B)\right)\cdot2\cdot c\cdot BX =AX^{2}=CZ^{2}.}\)

Stąd w powyższej nierówności mamy równość, więc \(\displaystyle{ b=c}\) oraz \(\displaystyle{ \angle A=\angle B}\) , zatem trójkąt jest równoboczny.

Przypadek 1. \(\displaystyle{ a\ge c\ge b}\)

Z twierdzenia cosinusów:
\(\displaystyle{ BY^{2}=\left(a-CY\right)^{2}+\left(1-\cos(\angle C)\right)\cdot2\cdot a\cdot CY}\)
\(\displaystyle{ \ge\left(c-CY\right)^{2}+\left(1-\cos(\angle B)\right)\cdot2\cdot c\cdot CY}\)
\(\displaystyle{ =\left(c-BX\right)^{2}+\left(1-\cos(\angle B)\right)\cdot2\cdot c\cdot BX =AX^{2}=BY^{2}.}\)

Ponownie zamiast nierównościach mamy równość, więc \(\displaystyle{ a=c}\) oraz \(\displaystyle{ \angle B=\angle C}\) , zatem trójkąt jest równoboczny.

[porfirion]

Ukryta treść:    

[...]Stąd w powyższej nierówności mamy równość, więc \(\displaystyle{ b=c}\) oraz \(\displaystyle{ \angle A=\angle B}\) , [...]

Czy ten wniosek nie jest nazbyt pochopny?