Dowód twierdzenia: ,,Jeśli ciąg jest zbieżny to..."
- kp1311
- Użytkownik
- Posty: 475
- Rejestracja: 20 maja 2009, o 15:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarzecze
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 49 razy
Dowód twierdzenia: ,,Jeśli ciąg jest zbieżny to..."
Potrzebuje pomocy w zrozumieniu następującego dowodu:
Niech \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }=g}\). Z definicji granicy wynika że dla każdej liczby \(\displaystyle{ \epsilon >0}\), a więc i dla \(\displaystyle{ \epsilon = 1}\). Spełniona jest nierówność:\(\displaystyle{ | a_{n} - g|<1}\) (ok).
Ponieważ (1) \(\displaystyle{ | a_{n}| = | a_{n} - g + g| \le \left | a_{n} - g \right| + \left| g \right|}\) (ok) więc dla \(\displaystyle{ n>\delta}\) jest \(\displaystyle{ \left| a_{n} \right| \le 1 + \left| g \right|}\) (tego już kompletnie nie rozumiem, jak na podstawie (1) został wyciągnięty taki wniosek?) z dalszą częścią dowodu sobie poradziłem, zatem nie będę jej przepisywał.
Niech \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }=g}\). Z definicji granicy wynika że dla każdej liczby \(\displaystyle{ \epsilon >0}\), a więc i dla \(\displaystyle{ \epsilon = 1}\). Spełniona jest nierówność:\(\displaystyle{ | a_{n} - g|<1}\) (ok).
Ponieważ (1) \(\displaystyle{ | a_{n}| = | a_{n} - g + g| \le \left | a_{n} - g \right| + \left| g \right|}\) (ok) więc dla \(\displaystyle{ n>\delta}\) jest \(\displaystyle{ \left| a_{n} \right| \le 1 + \left| g \right|}\) (tego już kompletnie nie rozumiem, jak na podstawie (1) został wyciągnięty taki wniosek?) z dalszą częścią dowodu sobie poradziłem, zatem nie będę jej przepisywał.
-
- Użytkownik
- Posty: 879
- Rejestracja: 1 wrz 2007, o 13:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 221 razy
Dowód twierdzenia: ,,Jeśli ciąg jest zbieżny to..."
Pierwsza nierówność wynika z tzw. nierówności trójkąta (\(\displaystyle{ |x|+|y| \ge |x+y|}\), a druga właśnie z nierówności 1)\(\displaystyle{ |a_{n}-g|<1}\).kp1311 pisze:\(\displaystyle{ | a_{n}| = | a_{n} - g + g| \le \left | a_{n} - g \right| + \left| g \right|}\) (ok) więc dla \(\displaystyle{ n>\delta}\) jest \(\displaystyle{ \left| a_{n} \right| \le 1 + \left| g \right|}\)
- kp1311
- Użytkownik
- Posty: 475
- Rejestracja: 20 maja 2009, o 15:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarzecze
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 49 razy
Dowód twierdzenia: ,,Jeśli ciąg jest zbieżny to..."
Przy (1) napisałem (ok) ponieważ ją rozumiałem
Nie rozumiem tylko jak z (1) wynika że \(\displaystyle{ \left| a_{n} \right| \le 1 + \left| g \right|}\) ?
Możesz mi to jakoś rozpisać?
Nie rozumiem tylko jak z (1) wynika że \(\displaystyle{ \left| a_{n} \right| \le 1 + \left| g \right|}\) ?
Możesz mi to jakoś rozpisać?
-
- Użytkownik
- Posty: 879
- Rejestracja: 1 wrz 2007, o 13:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 221 razy
Dowód twierdzenia: ,,Jeśli ciąg jest zbieżny to..."
\(\displaystyle{ | a_{n} - g|<1}\)
teraz dodajmy \(\displaystyle{ |g|}\) stronami i dostajemy
\(\displaystyle{ | a_{n} - g|+|g|<1+|g|}\)
no i wystarczy skorzystać z przechodniości nierówności.
teraz dodajmy \(\displaystyle{ |g|}\) stronami i dostajemy
\(\displaystyle{ | a_{n} - g|+|g|<1+|g|}\)
no i wystarczy skorzystać z przechodniości nierówności.
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Dowód twierdzenia: ,,Jeśli ciąg jest zbieżny to..."
Chodzi o to (def granicy ciągu), że dla \(\displaystyle{ \varepsilon =1}\) istnieje taka liczba \(\displaystyle{ \delta}\), że dla \(\displaystyle{ n>\delta}\) mamy \(\displaystyle{ |a_n-g|<\varepsilon =1}\).
Czyli u ciebie, jak weźmiemy sobie \(\displaystyle{ n>\delta}\) to już mamy \(\displaystyle{ |a_n-g|<1}\)
Czyli u ciebie, jak weźmiemy sobie \(\displaystyle{ n>\delta}\) to już mamy \(\displaystyle{ |a_n-g|<1}\)
- kp1311
- Użytkownik
- Posty: 475
- Rejestracja: 20 maja 2009, o 15:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarzecze
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 49 razy
Dowód twierdzenia: ,,Jeśli ciąg jest zbieżny to..."
Teraz widzę
Jeszcze jedna mała wątpliwość, wychodzi na to że \(\displaystyle{ | a_{n} | < 1 + |g|}\) (ok), tyle że w mojej książce ta nierówność jest osłabiona...
To błąd w druku czy może ma to jakieś inne uzasadnienie?-- 16 cze 2009, o 19:48 --
Jeszcze jedna mała wątpliwość, wychodzi na to że \(\displaystyle{ | a_{n} | < 1 + |g|}\) (ok), tyle że w mojej książce ta nierówność jest osłabiona...
To błąd w druku czy może ma to jakieś inne uzasadnienie?-- 16 cze 2009, o 19:48 --
Akurat z tym nie miałem problemu....fon_nojman pisze:Chodzi o to (def granicy ciągu), że dla \(\displaystyle{ \varepsilon =1}\) istnieje taka liczba \(\displaystyle{ \delta}\), że dla \(\displaystyle{ n>\delta}\) mamy \(\displaystyle{ |a_n-g|<\varepsilon =1}\).
Czyli u ciebie, jak weźmiemy sobie \(\displaystyle{ n>\delta}\) to już mamy \(\displaystyle{ |a_n-g|<1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 879
- Rejestracja: 1 wrz 2007, o 13:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 221 razy
Dowód twierdzenia: ,,Jeśli ciąg jest zbieżny to..."
Z nierówności ostrej wynika nieostra więc błędu być nie może nierówność ostra jest również prawdziwa, ale pytanie co jest potrzebne w dalszej części dowodu.
- kp1311
- Użytkownik
- Posty: 475
- Rejestracja: 20 maja 2009, o 15:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarzecze
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 49 razy
Dowód twierdzenia: ,,Jeśli ciąg jest zbieżny to..."
Jesteś pewien? W takim razie jeśli \(\displaystyle{ a<1}\) to wg. Ciebie również \(\displaystyle{ a \le 1}\) (przecież jest mniejsze więc nie może być równe)Brzytwa pisze:Z nierówności ostrej wynika nieostra więc błędu być nie może nierówność ostra jest również prawdziwa, ale pytanie co jest potrzebne w dalszej części dowodu.
Jest na odwrót: z nierówności nieostrej wynika ostra
np. jeśli \(\displaystyle{ a \le 1}\) to również \(\displaystyle{ a<1}\)-- 16 cze 2009, o 20:05 --A jeśli chodzi o dalszą część dowodu to z nią już nie potrzebuje pomocy
Dziękuje za pomoc.
-
- Użytkownik
- Posty: 879
- Rejestracja: 1 wrz 2007, o 13:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 221 razy
Dowód twierdzenia: ,,Jeśli ciąg jest zbieżny to..."
kp1311 pisze:Jesteś pewien? W takim razie jeśli \(\displaystyle{ a<1}\) to wg. Ciebie również \(\displaystyle{ a \le 1}\) (przecież jest mniejsze więc nie może być równe)Brzytwa pisze:Z nierówności ostrej wynika nieostra więc błędu być nie może nierówność ostra jest również prawdziwa, ale pytanie co jest potrzebne w dalszej części dowodu.
Jest na odwrót: z nierówności nieostrej wynika ostra
np. jeśli \(\displaystyle{ a \le 1}\) to również \(\displaystyle{ a<1}\)
-- 16 cze 2009, o 20:05 --
A jeśli chodzi o dalszą część dowodu to z nią już nie potrzebuje pomocy
Dziękuje za pomoc.
Proponuję jeszcze raz to przemyśleć I mała podpowiedź: \(\displaystyle{ a \ge 1 \ \Leftrightarrow \ (a=1 \ \vee \ a>1)}\)
P.S.
Tak na wszelki wypadek dam kontrprzykład: \(\displaystyle{ 1 \ge 1 \ \Rightarrow \ 1>1}\) - implikacja raczej średnio prawdziwa...
- kp1311
- Użytkownik
- Posty: 475
- Rejestracja: 20 maja 2009, o 15:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarzecze
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 49 razy
Dowód twierdzenia: ,,Jeśli ciąg jest zbieżny to..."
Przemyślałem jeszcze jeden raz oraz dogłębnie przeanalizowałem kontrprzykład i pozostaje mi już tylko przyznać Ci racje