Ciekawa zabawa z potęgami - udowodnij mnie źle

[turbowarkocz]

Zanim przejdę do meritum sprawy, chciałem się ze wszystkimi przywitać jako nowy użytkownik forum

Siedziałem dziś na pewnej nudnej lekcji i zacząłem się trochę bawić liczbami. Korzystając z tej oto własności potęgi:
\(\displaystyle{ (x ^{n}) ^{m} = x ^{n \cdot m}}\)

doszedłem do takiego stwora:
\(\displaystyle{ x ^{{x} ^{x}} = x ^ {x \cdot x} = x ^{x ^{2}} = x ^{2x} \Rightarrow

\Rightarrow x ^{x} = x ^{2} = 2x}\) ?!?!?

Jestem uczniem drugiej klasy liceum o profilu kładącym raczej nacisk na przedmioty humanistyczne, zatem na naszych lekcjach poruszamy problemu poziomu matury podstawowej. Zdając sobie sprawę z z mojego słabego pojęcia na temat matematyki, natychmiast pobiegłem z tym do swojego nauczyciela, ale ten także nie był w stanie wytłumaczyć w sposób zrozumiały dla mnie, gdzie w tym równaniu jest błąd. Wiem tylko na pewno, że równość zachodzi dla \(\displaystyle{ x \in \left\{1, 2\right\}}\). Co o tym myślicie?

Pozdrawiam!

@edit korekta: dla 0 nie zachodzi

[K-mil]

Siedziałem dziś na pewnej nudnej lekcji i zacząłem się trochę bawić liczbami.

Jak najbardziej pozytywne przyzwyczajenie

doszedłem do takiego stwora:
\(\displaystyle{ x ^{{x} ^{x}} = x ^ {x \cdot x}}\)

A cóż to? Według Ciebie \(\displaystyle{ x ^{x} = x ^{2}}\)?

Wiem tylko na pewno, że równość zachodzi dla \(\displaystyle{ x \in \left\{ 0, 1, 2\right\}}\)
Pozdrawiam!

Co jak co ale dla \(\displaystyle{ x=0}\) to na pewno nie działa (symbol nieoznaczony). Dla \(\displaystyle{ x=1}\) zachodzi bo \(\displaystyle{ 1}\) do każdej potęgi podniesione daje zawsze \(\displaystyle{ 1}\). Dla \(\displaystyle{ 2}\) mamy w obu przypadkach takie same liczby i na tym się kończą szczególne przypadki tego rozważania. W reszcie przypadków już takie cuda nie wyjdą, bo każda funkcja wykładnicza jest różnowartościowa

natychmiast pobiegłem z tym do swojego nauczyciela, ale ten także nie był w stanie wytłumaczyć w sposób zrozumiały dla mnie, gdzie w tym równaniu jest błąd.
Pozdrawiam!

To był napewno nauczyciel matematyki? Jeśli tak, to szkoda słów...

[turbowarkocz]

Tak, już się zorientowałem, że dla 0 to symbol nieoznaczony. Jeszcze raz, teraz postaram się jaśniej:

\(\displaystyle{ x ^{m ^{n}} = x^{m \cdot n}}\)

zatem

\(\displaystyle{ x ^{x ^{x}} = x ^{x \cdot x}

x \cdot x = x ^{2}

x ^{x ^{2}} =}\)

Tutaj znowu powracamy do własności potęgi i korzystamy z niej:

\(\displaystyle{ = x ^{x ^{2}} = x ^{2x}}\)

stąd wniosek, że skoro \(\displaystyle{ x ^{x ^{x}} = x ^{x ^{2}} = x ^{2x}}\) , to \(\displaystyle{ x ^{x} = x ^{2} = 2x}\)

[K-mil]

\(\displaystyle{ x ^{m ^{n}} = x^{m \cdot n}}\)

Najważniejsze: \(\displaystyle{ x ^{m ^{n}} \neq x^{m \cdot n}}\)

[miki999]

stąd wniosek, że skoro \(\displaystyle{ x ^{x ^{x}} = x ^{x ^{2}} = x ^{2x}}\) , to \(\displaystyle{ x ^{x} = x ^{2} = 2x}\)

Co by nie mówić, masz rację.

[turbowarkocz]

\(\displaystyle{ x ^{m ^{n}} = x^{m \cdot n}}\)

Najważniejsze: \(\displaystyle{ x ^{m ^{n}} \neq x^{m \cdot n}}\)

hmm. skoro tak mówisz, czym więc się róźni \(\displaystyle{ (x ^{n}) ^{m}}\) od \(\displaystyle{ x ^{n ^{m}}}\) ? wydaje mi się, że w tym przypadku nie ma czegoś takiego, jak kolejność potęgowania, jednocześnie w tym fragmencie siedzi diabełek

[miki999]

\(\displaystyle{ \left(x ^{n}\right) ^{m}=x^{m \cdot n}}\)

Przykład:
\(\displaystyle{ x=2, \\ n=3, \\ m=2}\)

[leapi]

\(\displaystyle{ {2^2}^2}\) dwa do potęgi \(\displaystyle{ 2^2}\)

\(\displaystyle{ \left(2^2\right)^2}\) kwadrat liczby \(\displaystyle{ 2^2}\)

skąd pomysł, że to jest to samo

Np.

\(\displaystyle{ {3^2}^3=3^8}\)

\(\displaystyle{ \left(3^2\right)^3=9^3=3^6}\)

W przypadku \(\displaystyle{ x^x^x}\)

\(\displaystyle{ {4^4}^4=4^{256}}\)

\(\displaystyle{ \left(4^4\right)^4=4^{16 }}\)

[miki999]

Np.

\(\displaystyle{ {3^2}^3=3^8}\)

\(\displaystyle{ \left(3^2\right)^3=9^3=3^6}\)

No jak widać, liczby są różne. Zatem \(\displaystyle{ \left(x ^{n}\right) ^{m}\neq x^{m^n }}\)

[Inkwizytor]

Ja spróbuję też jeszcze inaczej
turbowarkoczu! Błednie odczytujesz zapis \(\displaystyle{ x^{x^x}}\)
Mylisz go z tym: \(\displaystyle{ \left( x^x\right) ^x}\)
A to nie jest to samo.

[turbowarkocz]

czyli mam rozumieć, że w \(\displaystyle{ x ^{x ^{x}}}\) istnieje w domyśle taki nawias \(\displaystyle{ x ^{(x ^{x})}}\) ? skoro tak, która zasada o tym mówi? można wskazać jakąś konkretną?

[Inkwizytor]

Choćby taka że o ile nawiasy nie mówią inaczej wykładnik należy tylko do najbliższej podstawy. Przykładowo:

\(\displaystyle{ \frac{3^5}{2}}\) to nie jest to samo co \(\displaystyle{ \left( \frac{3}{2}\right)^5}\)
Częsty bład w szkole. Uczeń zapomina o nawiasie i nagle jest zdziwiony że coś ma źle...

Może tego tu tak nie widać ale zwykle w formie pisanej długopisem w zeszycie ten błąd jest częsty i chyba każdy wie o co mi chodzi.-- 5 mar 2012, o 23:24 --To jeszcze dorzucę kilka przykładu gdzie nawias robi różnice

\(\displaystyle{ \log{x^2} + x \not\equiv \log({x^2} + x) \\
\sin{x^2} \not\equiv (\sin{x})^2 \\
2x^{-1} \not\equiv (2x)^{-1}}\)

[wdsk90]

Udowodnij mnie źle? To po polsku? Błagam, niech ktoś to poprawi, bo coś mi się dzieje jak to widzę.

[Elayne]

doszedłem do takiego stwora:
\(\displaystyle{ x ^{{x} ^{x}} = x ^ {x \cdot x} = x ^{x ^{2}} = x ^{2x} \Rightarrow

\Rightarrow x ^{x} = x ^{2} = 2x}\) ?!?!?

Ta równość \(\displaystyle{ x ^{x ^{2}} = x ^{2x}}\) jest nieprawdziwa (chodzi o potęgi, \(\displaystyle{ x ^{2} \neq 2x}\) )

[a_fenix]

W skrócie: "Inkwizytor" miał racje. Chodzi o brak nawiasów ... ,
czy też brak intuicji.

Zastanawia mnie tylko czemu piszecie, że

\(\displaystyle{ x^{x^x}=x^{(x^x)}}\) (oczywiście się z tym zgadzam)

czyli

\(\displaystyle{ x^{x^{x^x}}=x^{(x^{(x^x)})}}\)
a nie
\(\displaystyle{ x^{x^{x^x}}=((x^x)^x)^x}\)


Ja osobiście jak spotykałem się z zapisem
\(\displaystyle{ x^{x^x}}\) to zakładałem, że zadanie pod względem nawiasów jest w tej trudniejsze formie, ale czy ktoś widział jakąś definicję w książce (w Fichtenholz_u nie zauważyłem, może przez kurz) czy też wiki? Zawsze ostatecznie komuś się chciało dopisać te nawiasy...

Oczywiście gOOgle przyznaje Wam rację.

;P

LaTeX też
\(\displaystyle{ x^{x^{x^x}}=}\)x^{x^{x^x}}

więc odpowiadając na

czyli mam rozumieć, że w \(\displaystyle{ x ^{x ^{x}}}\) istnieje w domyśle taki nawias \(\displaystyle{ x ^{(x ^{x})}}\) ? skoro tak, która zasada o tym mówi? można wskazać jakąś konkretną?

sam napisałeś tak, pisząc posta, zastąp nawiasy klamrowe okrągłymi (Twój tex)
x ^{x ^{x}}
Więc może zasady nie ma - a jest intuicja, może wypływająca z LaTeX / tex czy też jakiś bibliotek w Pascalu, C, C++, Javie, C# ... i tak dalej ... i tym podobne ... i zapomniałem oczywiście wspomnieć o Logo.

doszedłem do takiego stwora:
\(\displaystyle{ x ^{{x} ^{x}} = x ^ {x \cdot x} = x ^{x ^{2}} = x ^{2x} \Rightarrow

\Rightarrow x ^{x} = x ^{2} = 2x}\) ?!?!?

Ta równość \(\displaystyle{ x ^{x ^{2}} = x ^{2x}}\) jest nieprawdziwa (chodzi o potęgi, \(\displaystyle{ x ^{2} \neq 2x}\) )

Ta równość \(\displaystyle{ x ^{x ^{2}} = x ^{2x}}\) jest prawdziwa, jak sobie odpowiednio ustawisz nawiasy.
\(\displaystyle{ (x ^x )^2 = x ^{2x}}\) dla x całkowitych.


-----------------------------------------------------------
leapi - możesz mi naaaapraaawdę wolno wyyytłumaczyć czemu to niby nie działa dla dwójki?

\(\displaystyle{ {2^2}^2}\) dwa do potęgi \(\displaystyle{ 2^2}\)

\(\displaystyle{ \left(2^2\right)^2}\) kwadrat liczby \(\displaystyle{ 2^2}\)

skąd pomysł, że to jest to samo

bo jak ja wykonuje te działania to wychodzi...

\(\displaystyle{ {2^2}^2}\) dwa do potęgi \(\displaystyle{ 2^2}\)

... do potęgi \(\displaystyle{ 2^2}\) yyy czyli do potęgi czwartej tak?
więc ... dwa do potęgi czwartej to .......... !16!

\(\displaystyle{ \left(2^2\right)^2}\) kwadrat liczby \(\displaystyle{ 2^2}\)

... liczby \(\displaystyle{ 2^2}\) czyli yyy czyli liczby 4 tak?
... kwadrat liczby cztery to 16?!

skąd pomysł, że to jest to samo

16 \(\displaystyle{ \neq}\) 16 ?????????
To zachodzi dla 2 i już...



--------------------------------------------------------------------------

Wracając do autora pytania...

...Korzystając z tej oto własności potęgi:
\(\displaystyle{ (x ^{n}) ^{m} = x ^{n \cdot m}}\)

która wynika z ???
po pierwsze m, n muszą być liczbami całkowitymi (z tymi całkowitymi to tak ograniczam pod dowód i względem wiki i względem godziny - może... może... działa to w liczbach zespolonych / rzeczywistych / wymiernych, wiem że działa dla całkowitych, jak potrzebujesz uogólnienia to napisz).

Po pierwsze
\(\displaystyle{ (x ^{n})=\underbrace{x \cdot x \cdot ... \cdot x}_n}\)
Po drugie
\(\displaystyle{ (x ^{n}) ^{m}= \underbrace{(x \cdot x \cdot ... \cdot x}_n)^{m} = \underbrace{\underbrace{(x \cdot x \cdot ... \cdot x}_n) \cdot \underbrace{(x \cdot x \cdot ... \cdot x}_n) \cdot ... \cdot \underbrace{(x \cdot x \cdot ... \cdot x}_n)}_m=\underbrace{(x \cdot x \cdot ... \cdot x)}_{n \cdot m}= x ^{n \cdot m}}\)
Po trzecie dla "większości " liczb
\(\displaystyle{ (x ^{n}) ^{m} \neq x^{(n^m)}}\)
ponieważ
\(\displaystyle{ (x ^{n}) ^{m}= x ^{n \cdot m}=\underbrace{(x \cdot x \cdot ... \cdot x)}_{n \cdot m}}\)
natomiast
\(\displaystyle{ x^{(n^m)}= x ^{\underbrace{(n \cdot n \cdot ... \cdot n)}_{m}}= \underbrace{(x \cdot x \cdot ... \cdot x)}_{n^m}}\)

...wracając do Twojego pytania...

doszedłem do takiego stwora:
\(\displaystyle{ x ^{{x} ^{x}} = x ^ {x \cdot x} = x ^{x ^{2}} = x ^{2x} \Rightarrow

\Rightarrow x ^{x} = x ^{2} = 2x}\) ?!?!?

zastosowałeś "własność" więc zapewne miałeś na myśli tak rozłożone nawiasy (przed pierwszym znakiem równa się)
\(\displaystyle{ (x ^{x})^{x} = x ^ {(x \cdot x)} = x ^{(x ^{2})} \neq x ^{2x}}\)

Jestem uczniem drugiej klasy liceum o profilu kładącym raczej nacisk na przedmioty humanistyczne ... natychmiast pobiegłem z tym do swojego nauczyciela, ale ten także nie był w stanie wytłumaczyć w sposób zrozumiały dla mnie, gdzie w tym równaniu jest błąd. ...

Co o tym myślicie?

skoro humanistyczne, to może strzelisz wypracowańko i pod tablicę?
"Znajomość definicji, matematyka kontra uczniowie."
Proponuję dorzucić zagadnienie "Czy 2 jest o minus 1 mniejsze od 1?"
Statystykę 20 osób, które odpowiedziały na to pytanie masz tu:

... korekta: dla 0 nie zachodzi

a co do \(\displaystyle{ 0^0}\) to proponuje sekcję "Zero do potęgi zerowej" na wiki [url]http://pl.wikipedia.org/wiki/Pot%C4%99gowanie[/url]