Witam, mam do rozwiązania może i trywialny przykład, ale czegoś mi brakuje i utknąłem. Mianowicie:
\(\displaystyle{ t(y+1)y'=y,\ y(e)=1}\)
Rozdzielając zmienne i całkując otrzymuję następującą zależność:
\(\displaystyle{ y+\ln y=\ln t+C}\)
Teraz wypadałoby wyliczyć stałą korzystając z warunku początkowego, jednak nie jestem pewien, czy mogę w tym wypadku podstawić bezpośrednio za \(\displaystyle{ y}\) wartość wynikającą z warunku początkowego:
\(\displaystyle{ 1+\ln 1=\ln e+C \\ C=0\\ y+\ln y=\ln t}\)
Równanie różniczkowe z warunkiem początkowym
-
Arxas
- Użytkownik
- Posty: 105
- Rejestracja: 9 sty 2008, o 03:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 13 razy
Równanie różniczkowe z warunkiem początkowym
Ostatnio zmieniony 4 mar 2012, o 22:45 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Proszę zapoznać się z punktem 2.7 instrukcji LaTeX-a: http://matematyka.pl/latex.htm . Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, cosinus - \cos, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Proszę zapoznać się z punktem 2.7 instrukcji LaTeX-a: http://matematyka.pl/latex.htm . Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, cosinus - \cos, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
mlody3k
- Użytkownik
- Posty: 79
- Rejestracja: 1 mar 2012, o 01:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 3city
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 24 razy
Równanie różniczkowe z warunkiem początkowym
Dokładnie tak należy zrobić. Wychodzi \(\displaystyle{ C=0}\).
I jedna wskazówka na przyszłość: jeżeli całkujesz coś i wychodzi ci na przykład:
\(\displaystyle{ ...= \ln t + C}\)
to lepiej sobie zastąp:
\(\displaystyle{ ...= \ln t + \ln C_{1}}\) gdzie \(\displaystyle{ C_{1}=e^C}\).
i wtedy masz łatwiejszą postać:
\(\displaystyle{ ...= \ln C_{1}t}\).
Łatwiejszą, bo jeżeli z lewej strony też masz logarytm naturalny to łatwiej ci porównać i możesz bardzo często odwikłać funkcję (nie w tym przypadku niestety - albo nie widzę).
I jedna wskazówka na przyszłość: jeżeli całkujesz coś i wychodzi ci na przykład:
\(\displaystyle{ ...= \ln t + C}\)
to lepiej sobie zastąp:
\(\displaystyle{ ...= \ln t + \ln C_{1}}\) gdzie \(\displaystyle{ C_{1}=e^C}\).
i wtedy masz łatwiejszą postać:
\(\displaystyle{ ...= \ln C_{1}t}\).
Łatwiejszą, bo jeżeli z lewej strony też masz logarytm naturalny to łatwiej ci porównać i możesz bardzo często odwikłać funkcję (nie w tym przypadku niestety - albo nie widzę).